Cho x,y,z > 1;x+y+z=1
Tìm GTNN của \(M=\frac{x-2}{z^2}+\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 12 2016
Ta có:
\(\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)
\(\frac{y}{y+1}=1-\frac{y}{y+1}\)
\(\frac{z}{z+4}=1-\frac{4}{z+4}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+4}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}\right)\)
\(\le\left[3-\left(\frac{4}{x+y+2}+\frac{4}{z+4}\right)\right]\le\left(3-\frac{16}{x+y+z+6}\right)=3-\frac{16}{6}=\frac{1}{3}\)
PB
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
BD
0
NP
0
8 tháng 11 2017
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương, ta có:
\(18x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{18x.\frac{2}{x}}=12\)
Chứng minh tương tự, ta có
\(18y+\frac{2}{y}\ge12\)
\(18z+\frac{2}{z}\ge12\)
Từ đó suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge36\)(*)
Lại có \(x+y+z\le1\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-1\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(x+y+z\right)\ge36-1\)
\(\Leftrightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)
Vậy \(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)với \(x+y+z\le1\)
TD
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 5 2019
\(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3\)
\(\Rightarrow P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
U
1
NN
1
KT
23 tháng 3 2018
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(3+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\ge9\)
CM BĐT phụ: \(a+\frac{1}{a}\ge2\) (a>0) (*)
\(\Leftrightarrow\)\(a^2+1-2a\ge0\) \(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=1\)
Áp dụng BĐT (*) ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2;\) \(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2;\) \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
suy ra: \(3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
p/s: dạng BĐT về trình bày mk kém mong các you sửa sai cho
Câu này đề bài có vấn đề nhé.
1. x , y,z > 1 thì không thể có x+ y +z =1.
2. Gỉa sử x, y, x > 0. Ví dụ lấy \(x=0,99999999\), \(z=5.10^{-9}\),\(y=5.10^{-9}\)
ta thấy M sẽ rất nhỏ. Khi x càng dần 1, z,y càng dần tới 0 thì M càng nhỏ, nên ko tìm GTNN của M đc.
FZ xem lại em nhé.