Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=a^2+b^2+c^2
và a+b+c=6
Tính ab+bc+ac
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
18 tháng 3 2020
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{a+c}\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{a+c}{ac}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\left(vì\text{ a;b;c dương}\right)\)
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2b+b^2c+c^2a}=\frac{3a^2}{3a^3}=\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
23 tháng 9 2020
a2 + b2 + c2 = ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2
<=> a2 + b2 + c2 = a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2
<=> a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0 ( bớt a2 + b2 + c2 ở cả hai vế )
<=> a2 + b2 + c2 - 2( ab + bc + ca ) = 0
<=> a2 + b2 + c2 - 2.9 = 0
<=> a2 + b2 + c2 - 18 = 0
<=> a2 + b2 + c2 = 18
Xét ( a + b + c )2 ta có :
( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
= ( a2 + b2 + c2 ) + 2( ab + bc + ca )
= 18 + 2.9
= 18 + 18 = 36
=> ( a + b + c )2 = 36
=> a + b + c = 6 ( do a, b, c là các số dương )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 8 2021
\(a^2+ab+b^2=\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2=\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+ab+b^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(P\ge\sqrt{3}\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}\)
\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
1 tháng 6 2015
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\left(a+b\right)^2-3ab}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2-\frac{3\left(a+b\right)^2}{4}}=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{\left(a+b\right)}{2}\)
tượng tự...
A>=3
12 tháng 11 2018
Gọi \(S=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Dễ thấy \(P-S=0\)
\(\Rightarrow2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Ta chứng minh:
\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2P\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=2\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
ta có a+b+c=6=> (a+b+c)^2=36
<=> a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=36
<=> a^2+b^2+c^2=36-2(ab+bc+ca) (1)
theo đề bài ta có
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=a^2+b^2+c^2
<=> a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2=a^2+b^2+c^2
<=> 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2
<=>-2(ab+bc+ca )=-(a^2+b^2+c^2)
<=> ab+bc+ca=(a^2+b^2+c^2)/2 (2)
(1),(2)=> ab+bc+ca=[36-2(ab+bc+ca)]/2
2(ab+bc+ca)=36-2(ab+bc+ca)
4(ab+bc+ca)=36
vậy ab+bc+ca=9