cho a,b là các số không âm. chứng minh rằng a^3+b^3>ab(a+b)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
7 tháng 9 2019
Lần sau nhớ viết đề kĩ hơn nha:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) và a, b, c > 0
Giả sử \(a\ge b\ge c>0\Rightarrow a+b\ge a+c\ge b+c\)
\(\text{Do đó: }a\ge b\ge c\text{ và }\frac{1}{b+c}\ge\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{a+b}\)
Áp dụng BĐT Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều ta thu được:
\(3\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
Nhân 2 vào hai vế tách ra rồi dùng AM - GM tiếp tục vào vế phải rồi từ đó suy ra đpcm:)
7 tháng 9 2019
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ba}+\frac{c^2}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\) ( 1 )
Có BĐT phụ:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Áp dụng vào ( 1 ) ta có:
\(A\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c>0\)
P/S:Có tới 45 cách CM bài toán này,bạn lên google có đầy.
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
17 tháng 3 2021
ta có
\(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) luôn đúng do a,b không âm
17 tháng 3 2021
Nguyễn Minh Quang thầy thiếu dấu "=" xảy ra rồi
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
HA
1
VT
21 tháng 10 2019
khai triển và rút gọn ta được:
\(4a^3+4b^3+4c^3+24abc\ge\left(a+b+c\right)^3.\)<=> \(a^3+b^3+c^3+8abc\ge\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)<=> a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) +c(c-a)(c-b) +3abc\(\ge0\)
giả sử \(a\ge b\ge c\)
c(c-a)(c-b)\(\ge0\)
a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) = (a-b)(a2 - b2 + bc-ac) = (a-b)2(a+b-c) \(\ge0\)
3abc\(\ge0\)
cộng vế theo vế ta được bdt cần chứng minh
dâu '=' khi \(\hept{\begin{cases}c\left(c-a\right)\left(c-b\right)=0\\\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)=0\\3abc=0\end{cases}}\)=> a=b; c=0
đầu bài cho cũng sai lam sao cm?
neu a=b=0 thi sao?
Đặng Quỳnh Ngân chuẩn đấy fai là \(\ge\)