\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>=\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{b+2a+c}+\frac{4}{a+2c+b}\) chứng minh BĐT trên biết a,b,c >0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 11 2016
a/ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ; \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c}\) ; \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế :
\(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
b/ \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\ge\frac{4}{a+2b+c}\)
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{4}{b+2c+a}\)
\(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{4}{c+b+2a}\)
Cộng theo vế :
\(2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge4\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge2\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)
15 tháng 2 2020
Cần CM bĐT phụ sau : \(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{a+b}\left(1\right)\)
Có \(a+b\ge2\sqrt{ab},\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\Rightarrow\) (1) đúng
Áp dụng (1) ta có \(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b+c\right)+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b+c}\right)\left(2\right)\)
Tương tự có \(\frac{1}{a+2b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b}\right)\left(3\right),\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{c}\right)\left(4\right)̸\)
Cọng (2),(3) và (4) có \(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{3}{a+b+c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 2 2020
\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{a+a+b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+a}+\frac{1}{b+c}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{a+2b+c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) ; \(\frac{1}{a+b+2c}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
T
13 tháng 2 2020
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Tương tự:\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c};\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi chia cho 2 ta thu được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
b)Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\). Cần chứng minh:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
Cách làm tương tự câu a.
c) \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\le\frac{1}{16}\Sigma\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
d) Em làm biếng quá anh làm nốt đi:P
dùng BĐT Cachy-S
mình không hiểu lắm. Bạn giải rõ ra được không?