Question

[dngchn11]

cho x² - 2(m + 1)x + m² + m - 1 = 0

tìm các giá trị của m để pt có nghiệm

trong trường hợp có nghệm là x₁ và x₂ hãy tính x₁ + x2, tính x₁x₂ và (x₁)² + (x₂)² theo m 

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+m-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m+2\ge0\Rightarrow m\ge-2\)

Khi đó theo hệ thức Viet : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-2\left(m^2+m-1\right)=2m^2+6m+6\)

Answer 2

[Trương Huy Hoàng]

x² - 2(m + 1)x + m² + m - 1 = 0

\(\Delta\) = [-2(m + 1)]² - 4.1.(m² + m - 1) = 4(m² + 2m + 1) - 4m² - 4m + 4 = 4m² + 8m + 4 - 4m² - 4m + 4 = 4m + 8

Để pt có nghiệm thì \(\Delta\) \(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) 4m + 8 \(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) m \(\ge\) -2

Với m \(\ge\) -2 ta có:

x₁ = \(\dfrac{2\left(m+1\right)+\sqrt{4m+8}}{2}=m+1+\sqrt{m+2}\)

x₂ = \(\dfrac{2\left(m+1\right)-\sqrt{4m+8}}{2}=m+1-\sqrt{m+2}\)

x₁ + x₂ = m + 1 + \(\sqrt{m+2}\) + m + 1 - \(\sqrt{m+2}\) = 2m + 2

x₁x₂ = (m + 1 + \(\sqrt{m+2}\))(m + 1 - \(\sqrt{m+2}\)) = (m + 1)² - m - 2 = m² + 2m + 1 - m - 2 = m² + m - 1 = \(\left(m+\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(m+\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\)

(x₁)² + (x₂)² = (m + 1 + \(\sqrt{m+2}\))² + (m + 1 - \(\sqrt{m+2}\))² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (2m + 2)² - 2(m² + m - 1) = 4m² + 8m + 4 - 2m² - 2m + 2 = 2m² + 6m + 6 = 2(m² + 3m + 3)

Chúc bn học tốt!