Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc với AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ ( khác B và C ). Gọi D,E,F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB,AC, BH.
a) Chứng minh
b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì MD + ME có giá trị không đổi.
c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK.
a/
Xét tg vuông BDM và tg vuông BHC có
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) => tg BDM đồng dạng với tg BHC \(\Rightarrow\frac{MD}{BH}=\frac{MB}{BC}\) (1)
Xét tg vuông CEM và tg vuông CHB có \(\widehat{ACB}\) chung => tg CEM đồng dạng với tg CHB \(\Rightarrow\frac{ME}{BH}=\frac{MC}{BC}\) (2)
Cộng 2 vế của (1) với (2) \(\Rightarrow\frac{MD+ME}{BH}=\frac{MB+MC}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\Rightarrow MD+ME=BH\) không đổi
b/ Kéo dài BC về phía C, Từ C dựng đường thẳng //AB cắt BC kéo dài tại N
Ta có \(ME\perp AC;BH\perp AC\) => ME//BH \(\Rightarrow\frac{CE}{EH}=\frac{MC}{MB}\) (Talet trong tam giác) (1)
Xét tg vuông BDM và tg vuông CEM có \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) => tg CEM đồng dạng với tg BDM
\(\Rightarrow\frac{CE}{BD}=\frac{MC}{MB}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{CE}{EH}=\frac{CE}{BD}\Rightarrow BD=EH\)
Xét tg KCN có
\(\widehat{ACB}=\widehat{KCN}\) (góc đối đỉnh)
\(\widehat{ABC}=\widehat{CKN}\) (góc so le trong)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{KCN}=\widehat{CNK}\) => tam giác CNK cân tại K => CK=KN mà CK=EH và BD=EH
=> BD=KN
Ta có BD//KN (theo cách dựng) và BD=KN => BDNK là hbh (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau thì là hbh)
Mà BC và DK là 2 đường chéo => chúng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường