Question

[nguyễn thảo ngân]

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc với AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ ( khác B và C ). Gọi D,E,F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB,AC, BH.

a)     Chứng minh  

b)    Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì MD + ME có giá trị không đổi.

c)     Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Xét tg vuông BDM và tg vuông BHC có

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) => tg BDM đồng dạng với tg BHC \(\Rightarrow\frac{MD}{BH}=\frac{MB}{BC}\) (1)

Xét tg vuông CEM và tg vuông CHB có \(\widehat{ACB}\) chung => tg CEM đồng dạng với tg CHB \(\Rightarrow\frac{ME}{BH}=\frac{MC}{BC}\) (2)

Cộng 2 vế của (1) với (2) \(\Rightarrow\frac{MD+ME}{BH}=\frac{MB+MC}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\Rightarrow MD+ME=BH\) không đổi

b/ Kéo dài BC về phía C, Từ C dựng đường thẳng //AB cắt BC kéo dài tại N

Ta có \(ME\perp AC;BH\perp AC\) => ME//BH \(\Rightarrow\frac{CE}{EH}=\frac{MC}{MB}\) (Talet trong tam giác) (1)

Xét tg vuông BDM và tg vuông CEM có \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) => tg CEM đồng dạng với tg BDM

\(\Rightarrow\frac{CE}{BD}=\frac{MC}{MB}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{CE}{EH}=\frac{CE}{BD}\Rightarrow BD=EH\)

Xét tg KCN có

\(\widehat{ACB}=\widehat{KCN}\) (góc đối đỉnh)

\(\widehat{ABC}=\widehat{CKN}\) (góc so le trong)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{KCN}=\widehat{CNK}\) => tam giác CNK cân tại K => CK=KN mà CK=EH và BD=EH

=> BD=KN

Ta có BD//KN (theo cách dựng) và BD=KN => BDNK là hbh (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau thì là hbh)

Mà BC và DK là 2 đường chéo => chúng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường