chứng minh rằng: 1/3-2/3^2+3/3^3-4/3^4+...-n/3^n <3/16 với n là số tự nhiên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VN
1
20 tháng 2 2019
Ta cần chứng minh:\(1^3+2^3+3^3+....+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Với \(n=1\Rightarrow1=1\)(đúng)
Giả sử bài toán đúng với \(n=k\left(n\inℕ^∗\right)\) thì ta có:
\(1+2^3+3^3+...+k^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\left(1\right)\)
Ta cần chứng minh đề bài đúng với \(n=k+1\) tức là:
\(1^3+2^3+3^3+....+n^3=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\left(2\right)\)
Đặt \(A_{k+1}=1^3+2^3+...+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right)^2+\left(k+1\right)^3\) [theo (1)]
\(=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng.
Mà \(\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{n^2\cdot\left(n+1\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2\cdot\left(n+1\right)^2}{4}\left(đpcm\right)\)
MT
0
TT
0
VT
0
TD
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Do đó:
\(VT=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(VT=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}< 1\) (đpcm)