Question

[Nguyễn Hưng Phát]

Tìm tất cả các số nguyên dương x,y thỏa mãn:

    (x+y)⁴=40x+41

Answer 1

[Nguyễn Hải Phong]

Do x, y là số nguyên dương nên 40x < 41x; 41 $\le 41y$ , khi đó ta có:

( x + y )4 = 40x + 41 < 41x + 41y = 41( x + y )

Suy ra ( x + y )4 < 41( x + y )

$\iff {\left(x+y\right)}^3<41<64=4^3$

$\Rightarrow x+y<4$( 1 )

Ta thấy x là số nguyên dương nên $40x+41\ge 40\times 1+41=81$

$\Rightarrow {\left(x+y\right)}^4\ge 81$

$\Rightarrow x+y\ge 3$ ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra $3\le x+y<4$

Mà $\left(x+y\in N^{\ast }\right)\Rightarrow x+y=3$

Suy ra ( x ; y ) = (1; 2 ) ; ( 2 ; 1 ) ( do x, y là số nguyên dương )

Thử lại chỉ có x = 1 ; y = 2 thỏa mãn

Vậy x = 1 ; y = 2

Cbht