Giải pt nghiệm nguyên: \(x^2y+1=x^2+2xy+2x+y\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NB
0
T
0
AV
0
BV
21 tháng 2 2020
(Đưa về phương trình bậc 2 ẩn yy, tham số xx)
Pt ⇔2y2+(3x−1)y+x2−2x−6=0⇔2y2+(3x−1)y+x2−2x−6=0
Δ=(3x−1)2−4.2(x2−2x−6)=x2+10x+49=(x+5)2+24>0∀xΔ=(3x−1)2−4.2(x2−2x−6)=x2+10x+49=(x+5)2+24>0∀x
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì Δ=(x+5)2+24Δ=(x+5)2+24 phải là một số chính phương.
Đặt (x+5)2+24=k2(k∈N∗)⇔(x+5)2−k2=−24⇔(x+5−k)(x+5+k)=−24=−12.2=−6.4=−4.6=−2.12(x+5)2+24=k2(k∈N∗)⇔(x+5)2−k2=−24⇔(x+5−k)(x+5+k)=−24=−12.2=−6.4=−4.6=−2.12(tích của 2 số nguyên có tổng chẵn, (số bé .số lớn)
Lập bảng xét giá trị ta được các giá trị của xx và yy:
x=−10→y=6tm;x=−10→y=6tm;
x=−6→y=6tm;x=−6→y=6tm;
x=−4→y=4,5ktm;x=−4→y=4,5ktm;
x=0→y=2tmx=0→y=2tm
Vậy...
CN
2
2 tháng 2 2018
Lời giải:
Ta đưa về bài toán tìm nghiệm nguyên dương.
TH1: x,y∈Z+x,y∈Z+
PT tương đương: (x−y)(4xy−2)=(xy)3−1≥0⇒x≥y(x−y)(4xy−2)=(xy)3−1≥0⇒x≥y
Nếu x=yx=y thì hiển nhiên có xy=1⇒x=y=1xy=1⇒x=y=1.
Xét x>yx>y có 4xy(x−y)−2(x−y)+1=(xy)3⋮xy⇒2(x−y)−1⋮xy4xy(x−y)−2(x−y)+1=(xy)3⋮xy⇒2(x−y)−1⋮xy(1)(1)
Vì 2(x−y)−1≠02(x−y)−1≠0 nên suy ra để có (1)(1) thì 2(x−y)−1≥xy⇔(y−2)(x+2)≤−5<02(x−y)−1≥xy⇔(y−2)(x+2)≤−5<0
⇒y−2<0→y=1⇒y−2<0→y=1. Thay vào PT ban đầu thu được x=y=1x=y=1 (loại vì đang xét x>yx>y)
TH2: x,yx,y đều âm. Ta thay x=−a,y=−bx=−a,y=−b với a,ba,b nguyên dương.
Phương trình trở thành 2a(2b2+1)−2b(2a2+1)+1=(ab)32a(2b2+1)−2b(2a2+1)+1=(ab)3
Đây là dạng PT tương tự TH1, ta cũng thu được a=b=1a=b=1, tức là x=y=−1x=y=−1
TH3: x>0,y<0x>0,y<0. Đặt x=a,y=−bx=a,y=−b (a,ba,b nguyên dương)
PT tương đương: 2b(2a2+1)+2a(2b2+1)−1=(ab)32b(2a2+1)+2a(2b2+1)−1=(ab)3
⇒2(a+b)−1⋮ab⇒2(a+b)−1⋮ab. Vì 2(a+b)−1≠02(a+b)−1≠0 nên 2(a+b)−1≥ab⇒(a−2)(b−2)≤32(a+b)−1≥ab⇒(a−2)(b−2)≤3
Với a,b≥1a,b≥1 dễ dàng suy ra không có bộ nghiệm nào thỏa mãn
TH4: x<0,y>0x<0,y>0. Đặt x=−a,y=bx=−a,y=b (a,ba,b nguyên dương)
PT tương đương 2a(2b2+1)+2b(2a2+1)+1+(ab)3=02a(2b2+1)+2b(2a2+1)+1+(ab)3=0 (vô lý)
Vậy (x,y)=(1;1)(x,y)=(1;1) hoặc (x,y)=(−1;−1)
2 tháng 2 2018
Lời giải:
Ta đưa về bài toán tìm nghiệm nguyên dương.
TH1: x,y∈Z+
PT tương đương: (x−y)(4xy−2)=(xy)3−1≥0⇒x≥y
Nếu x=y thì hiển nhiên có xy=1⇒x=y=1.
Xét x>y có 4xy(x−y)−2(x−y)+1=(xy)3⋮xy⇒2(x−y)−1⋮xy(1)
Vì 2(x−y)−1≠0 nên suy ra để có (1) thì 2(x−y)−1≥xy⇔(y−2)(x+2)≤−5<0
⇒y−2<0→y=1. Thay vào PT ban đầu thu được x=y=1 (loại vì đang xét x>y)
TH2: x,y đều âm. Ta thay x=−a,y=−b với a,b nguyên dương.
Phương trình trở thành 2a(2b2+1)−2b(2a2+1)+1=(ab)3
Đây là dạng PT tương tự TH1, ta cũng thu được a=b=1, tức là x=y=−1
TH3: x>0,y<0. Đặt x=a,y=−b (a,b nguyên dương)
PT tương đương: 2b(2a2+1)+2a(2b2+1)−1=(ab)3
⇒2(a+b)−1⋮ab. Vì 2(a+b)−1≠0 nên 2(a+b)−1≥ab⇒(a−2)(b−2)≤3
Với a,b≥1 dễ dàng suy ra không có bộ nghiệm nào thỏa mãn
TH4: x<0,y>0. Đặt x=−a,y=b (a,b nguyên dương)
PT tương đương 2a(2b2+1)+2b(2a2+1)+1+(ab)3=0 (vô lý)
Vậy (x,y)=(1;1) hoặc (x,y)=(−1;−1)
HH
1
20 tháng 11 2018
\(x^2+2y^2+2xy=y+2.\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+2y^2-y-2=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2+8xy+8y^2-4y-8=0\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(4y^2-4y+1\right)-9=0\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2+\left(2y-1\right)^2-9=0\)
Mới nghĩ đến đây thôi ak
\(PT\Leftrightarrow y\left(x^2-2x-1\right)=x^2+2x-1\).
Từ đó \(x^2-2x-1\vdots x^2+2x-1\)
\(\Leftrightarrow4x⋮x^2+2x-1\) (1)
\(\Rightarrow4\left(x^2+2x-1\right)-4x^2⋮x^2+2x-1\)
\(\Leftrightarrow8x-4⋮x^2+2x-1\) (2)
Từ (1), (2) suy ra \(8⋮x^2+2x-1\).
Đến đây bạn xét TH.