Cho a + b + c = 3. Chứng minh \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\)lớn hơn hoặc bằng 3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ML
27 tháng 6 2015
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)
\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)
Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)
Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
22 tháng 7 2016
\(\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2};\frac{z^3}{x\left(y+2z\right)}\ge\frac{x+y+z}{3}\)
PN
28 tháng 7 2016
Keke
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\ge\frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}\) \(\left(i\right)\)
Đặt \(x=\frac{1}{a};\) \(y=\frac{2}{b};\) và \(z=\frac{3}{c}\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{x}\\b=\frac{2}{b}\\c=\frac{3}{z}\end{cases}}\) nên \(x,y,z>0\)
Khi đó, ta có thể biểu diễn lại bđt \(\left(i\right)\) dưới dạng ba biến \(x,y,z\) như sau:
\(x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3xz}{2z+x}\) \(\left(ii\right)\)
Lúc này, ta cần phải chứng minh bđt \(\left(ii\right)\) luôn đúng với mọi \(x,y,z>0\)
Thật vậy, ta có:
\(2x+y=x+x+y\ge3\sqrt[3]{x^2y}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3xy}{3\left(x^2y\right)^{\frac{1}{3}}}=\left(xy^2\right)^{\frac{1}{3}}\le\frac{x+2y}{3}\) \(\left(1\right)\)
Thiết lập các bđt còn lại theo vòng hoán vị \(y\rightarrow z\rightarrow x\) , ta có:
\(\frac{3yz}{2y+z}\le\frac{y+2z}{3}\) \(\left(2\right);\) \(\frac{3xz}{2z+x}\le\frac{z+2x}{3}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế ba bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) ta được:
\(VP\left(ii\right)\le\frac{x+2y+y+2z+z+2x}{3}=\frac{3\left(x+y+z\right)}{3}=x+y+z=VT\left(ii\right)\)
Vậy, bđt \(\left(ii\right)\) được chứng minh.
nên kéo theo bđt \(\left(i\right)\) luôn là bđt đúng với mọi \(a,b,c>0\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z\) \(\Leftrightarrow\) \(6a=3b=2c\)
13 tháng 10 2016
Ta có \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
Theo đề bài ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)