Cho tam giác ABC nội tiếp (o), gọi M,N,P lần lượt là các điểm chính giữa các cung AB, AC, BC. Các giao điểm MN với AB, AC tương ứng là E,F
a, Chứng minh tam giác AEF cân
b, Chứng minh AP vuông góc EF
c, Gọi CM cắt BN tại I, c/m IAM,IAN cân và tứ giác AEIF là hình thoi
d, H là giao điểm của PM và AB, K là giao điểm của PN và AC. Chưng minh HK//BC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Link đây bạn xem thử
http://pitago.vn/question/tam-giac-abc-noi-tiep-duong-tron-tam-o-cac-diem-m-n-p-la-3440.html
Học tốt nhé
a/ Gọi P là giao cuả AM và NK Ta có
sđ cung AN = 1/2 sđ cung AC
sđ cung BK = 1/2 sđ cung AB
sđ cung BM = 1/2 sđ cung BC
sđ cung MK = sđ cung BK + sđ cung BM = 1/2 sđ cung AB + 1/2 sđ cung BC
sđ \(\widehat{APN}=\) 1/2(sđ cung AN + sđ cung MK) = 1/2(1/2 sđ cung AC + 1/2 sđ cung AB + 1/2 sđ cung BC) = 1/4(sđ cung AC + sđ cung AB + sđ cung BC) (góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng hai cung bị chắn)
Mà sđ cung AC + sđ cung AB + sđ cung BC = 360
=> sđ\(\widehat{APN}\) = 1/4x360=90 => \(AM\perp NK\)
b/ Ta có
sđ cung AK = sđ cung BK
sđ cung cung BM = sđ cung CM
sđ\(\widehat{KCM}=\) 1/2 sđ cung MK = 1/2(sđ cung BK + sđ cung BM)
sđ\(\widehat{MIC}=\) 1/2 (sđ cung AK + 1/2 sđ cung CM) (góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng hai cung bị chắn)
\(\Rightarrow\widehat{KCM}=\widehat{MIC}\) => tam giác MIC cân tại M
a) Ta có: \(\angle MEC=\angle MFC=90\Rightarrow MEFC\) nội tiếp
Ta có: \(\angle BDM+\angle BEM=90+90=180\Rightarrow BDME\) nội tiếp
\(\Rightarrow\angle DBM=\angle DEM\)
b) BDME nội tiếp \(\Rightarrow\angle BED=\angle BMD=90-\angle DBM\)
MEFC nội tiếp \(\Rightarrow\angle FEC=\angle FMC=90-\angle ACM\)
mà \(\angle DBM=\angle ACM\) (ABMC nội tiếp)
\(\Rightarrow\angle BED=\angle FEC\) mà B,E,C thẳng hàng \(\Rightarrow D,E,F\) thẳng hàng
Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MCF:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MFC=\angle MDB\\\angle MCA=\angle MBD\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MBD\sim\Delta MCF\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{MD}{MF}\Rightarrow MB.MF=MD.MC\)
c) Kẻ đường cao AH,BI
Ta có: \(\angle ARV=\angle ACB=\angle BVH\left(=90-\angle CBI\right)=\angle AVI\)
\(\Rightarrow\Delta AVR\) cân tại A có \(AC\bot VR\Rightarrow AC\) là trung trực VR
mà F nằm trên AC \(\Rightarrow FV=FR\Rightarrow\Delta FVR\) cân tại F \(\Rightarrow\angle FVR=\angle FRV\)
DF cắt BR tại G
\(\angle GRM=\angle BRM=\angle BCM=\angle ECM=\angle EFM=\angle GFM\)
\(\Rightarrow GRFM\) nội tiếp mà \(MF\parallel GR (\bot AC)\) \(\Rightarrow GRFM\) là hình thang cân
\(\Rightarrow\angle MGR=\angle FRG=\angle FRV=\angle FVR\) \(\Rightarrow VF\parallel GM\)
mà \(MF\parallel GR\) \(\Rightarrow VFMG\) là hình bình hành có GF,VM là các đường chéo nên cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
\(\Rightarrow DF\) đi qua trung điểm VM