cho tam giác ABC .Điểm D thuộc AB, E thuộc AC sao cho BD=AE. Chứn minh khi D và E di động trên cạnh AB,AC thì đường trung trực DE luôn đi qua điểm cố định
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu D trùng B thì E sẽ trùng với A
=>Đường trung trực của DE là trung trực của AB
Nếu D trùng A thì E trùng với C
=>Đường ttrung trực của DE là trung trực của AC
Vẽ các đường trung trực của AB,AC, cắt nhau tại O
Gọi H,I lần lượt là trung điểm của AB,AC
=>OI vuông góc AC, OH vuông góc AB
Xét ΔOHB vuông tại H và ΔOIC vuông tại I có
OB=OC
HB=IC
=>ΔOHB=ΔOIC
=>OH=OI
ΔABC đều có O là giao của các đường trung trực
nên AO,BO lần lượt là phân giác của góc BAC, góc ABC
=>góc OAE=góc OBD=30 độ
=>ΔOAE=ΔOBD
=>OD=OE
=>O nằm trên trung trực của DE
=>ĐPCM
Trên cạnh CA lấy điểm K sao cho CK = AB. Gọi G là giao điểm của các đường trung trực của AK và BC.
Theo tính chất đường trung trực, ta có: GA = GB, GA = GK
Xét \(\Delta GBA\)và \(\Delta GCK\)có:
AG = KG (cmt)
AB = KC (theo cách chọn điểm phụ)
GB = GC (cmt)
Do đó \(\Delta GBA\)\(=\Delta GCK\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{GBD}=\widehat{GCE}\)(hai góc tương ứng)
Xét \(\Delta GBD\)và \(\Delta GCE\)có :
GB = GC (cmt)
\(\widehat{GBD}=\widehat{GCE}\)(cmt)
BD = CE (gt)
Do đó \(\Delta GBD\)\(=\Delta GCE\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow GD=GE\)(hai cạnh tương ứng)
Vậy đường trung trực của DE luôn đi qua điểm cố định G.(đpcm)
-Gọi G là trọng tâm của △ABC đều \(\Rightarrow\)G cũng là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp △ABC.
\(\Rightarrow AG=BG;\)AG là p/g của \(\widehat{BAC};\)BG là p/g của \(\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow\widehat{DBG}=\widehat{EAG}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)
-△BDG và △AEG có:
\(\widehat{DBG}=\widehat{EAG}\)
\(BD=AE\)
\(BG=AG\)
\(\Rightarrow\)△BDG=△AEG (c-g-c) nên \(DG=EG\)
\(\Rightarrow\)Đg trung trực của đoạn DE luôn đi qua 1 điểm cố định khi D,E thay đổi (điểm đó là G-trọng tâm của △ABC)