cho m n p thỏa mãn điều kiện m+n=3(n+p)=4(p+m) chứng minh rằng 9m=8n+p
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HC
12 tháng 12 2016
Vì 3^m+5^n chia hết cho 8, 8^n+8^m chia hết cho 8
=>(8^m+8^n) - (3^m+5^n) chia hết cho 8
=>3^n+5^m chia hết cho 8
5 tháng 11 2021
Giả sử m,n đều là số chẵn .
Đặt n = 2a , m = 2b ( a,b thuộc Z+ ; a,b 》1 )
=> 3^m = 3^2b = 9^b đd 1 ( mod 8 ) ; 5^n = 5^2a = 25^a đd 1 ( mod 8 )
=> 3^m + 5^n đd 2 ( mod 8 ) ( trái với giả thiết )
=> Điều giả sử sai
=> m,n không cùng là số chẵn
Tương tự : Nếu trong 2 số m,n có 1 số chẵn , 1 số lẻ không thỏa mãn giả thiết
=> Cả m,n đều là số lẻ
Xét tổng 3^m + 5^n + 3^n + 5^m = ( 3^m + 5^m ) + ( 3^n + 5^n )
= ( 3 + 5 ).( 3^m-1 - 3^m-2.5 + ... + 5^m-1 ) + ( 3 + 5 ).( 3^n-1 - ... + 5^n-1 ) ( Vì m,n đều là số lẻ )
= 8.M + 8.N chia hết cho 8
Mà 3^m + 5^n chia hết cho 8 ( giả thiết )
=> 3^n + 5^m chia hết cho 8 ( đpcm )
Vậy 3^n + 5^m chia hết cho 8 .
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 12 2016
Lời giải:
Ta có $3^m+5^n\equiv 3^m+1\equiv 0\pmod 4$ nên $3^m\equiv (-1)^m\equiv -1\pmod 4$ nên $m$ lẻ
Đặt $m=2k+1$ ( $k\in\mathbb{N}$) thì $3^m=3^{2k+1}\equiv 3\pmod 8$
$\Rightarrow 5^n\equiv 5\pmod 8$. Xét tính chẵn, lẻ ( đặt $n=2t,2t+1$) suy ra $n$ lẻ
Do đó $\Rightarrow 3^n+5^m\equiv (-5)^n+(-3)^m=-(5^n+3^m)\equiv 0\pmod 8$
Ta có đpcm
21 tháng 11 2016
Giả sử n và m là số chẵn ta có: \(\hept{\begin{cases}n=2k\\m=2p\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3^m=3^{2k}=9^k\\5^n=5^{2p}=25^p\end{cases}}\)
Ta có 9 chia cho 8 dư 1 nên 9k chia 8 dư 1
25 chia 8 dư 1 nên 25p chia 8 dư 1
\(\Rightarrow3^m+5^n\)chia 8 dư 2. Trai giả thuyết
Tương tự với n lẻ m chẵn và n chẵn m lẻ ta đều không thỏa đề bài. Từ đó ta có được là n,m phải là 2 số lẻ
Ta có:
\(3^m+5^n+3^n+5^m=\left(3^m+5^m\right)+\left(3^n+5^n\right)\)
\(=\left(3+5\right)\left(3^{m-1}-3^{m-2}.5+...\right)+\left(3+5\right)\left(3^{n-1}-3^{n-2}.5+...\right)=8A+8B\)
\(\Rightarrow3^n+5^m=8A+8B-3^m-5^n\)
Ta thấy rằng \(3^m+5^n;8A+8B\)đều chia hết cho 8 nên \(3^n+5^m\)chia hết cho 8
ta có \(\frac{m+n}{12}=\frac{n+p}{4}=\frac{p+m}{3}=k\)(chia tất cả cho 12)
\(\Rightarrow m+n=12k;n+p=4k;p+m=3k.\)
\(\Rightarrow2\left(m+n+p\right)=19k\Rightarrow m+n+p=9,5k\)
\(\Rightarrow m=5,5k;n=6,5k;p=-2,5k\)
\(\Rightarrow9m=49,5k;8n+p=52k+\left(-2,5k\right)=49,5k\)
Mà 49,5k=49,5k nên 9m=8n+p với\(k\inℚ\)