Question

[Minh Tran]

cho a,b,c > 0 

a+ b+c = 6

Chứng minh rằng: 

\(\frac{a}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\)

Answer 1

[Phạm Thành Đông]

\(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\)  chứ không như đề bài trên nhé.

Ta có:

\(\sqrt{b^3+1}=\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\)

Vì \(b>0\)nên \(b+1>0\)và \(b^2-b+1\ge\frac{3}{4}>0\)nên áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)\ge2\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow b^2+2\ge2\sqrt{b^3+1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+2}{2}\ge\sqrt{b^3+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{b^2+2}\le\frac{1}{\sqrt{b^3+1}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a}{b^2+2}\le\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{2b}{c^2+2}\le\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}\left(2\right)\);

\(\frac{2c}{a^2+2}\le\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\left(3\right)\)

Từ (1), (2), (3), ta được:

\(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+1}}\ge\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\left(4\right)\)

Answer 2

[Phạm Thành Đông]

Ta có:

\(\frac{2a}{b^2+2}=\frac{a\left(b^2+2-b^2\right)}{b^2+2}=\frac{a\left(b^2+2\right)}{b^2+2}-\frac{ab^2}{b^2+2}=a-\frac{ab^2}{b^2+2}\)

Vì b dương nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(b^2+2\ge2b\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{b^2+2}\le\frac{1}{2b\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab^2}{b^2+2}\le\frac{ab}{2\sqrt{2}}\)\(\Leftrightarrow-\frac{ab^2}{b^2+2}\ge\frac{-ab}{2\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{b^2+2}\ge a-\frac{ab}{2\sqrt{2}}\)\(\Leftrightarrow\frac{2a}{b^2+2}\ge a-\frac{ab}{2\sqrt{2}}\left(5\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{2b}{c^2+2}\ge b-\frac{bc}{2\sqrt{2}}\left(6\right)\);

\(\frac{2c}{a^2+2}\ge c-\frac{ca}{2\sqrt{2}}\left(7\right)\)

Từ (5), (6), (7), ta được:

\(\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\ge a-\frac{ab}{2\sqrt{2}}+b-\frac{bc}{2\sqrt{2}}+c-\frac{ca}{2\sqrt{2}}\left(8\right)\)