Giải phương trình:
\(\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}+\)\(\sqrt{-x+y+4}\)\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H
6 tháng 4 2021
ĐKXĐ : \(2\le x,y,z\le4\)
Từ hệ phương trình ta suy ra được
\(\Sigma x+\Sigma\sqrt{x-2}+\Sigma\sqrt{4-x}=\Sigma x^2-5\Sigma x+33\\ \Leftrightarrow\Sigma\left(x^2-6x+9\right)+6=\Sigma\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)\\ \Leftrightarrow\Sigma\left(x-3\right)^2+6=\Sigma\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\le\sqrt{2\left(A+B\right)}\)
\(\Sigma\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)\le\Sigma\sqrt{2\left(x-2+4-x\right)}=\Sigma2=6\)
\(\Rightarrow\Sigma\left(x-3\right)^2+6\le6\Rightarrow\Sigma\left(x-3\right)^2\le0\)
Mà \(\Sigma\left(x-3\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2=\left(y-3\right)^2=\left(z-3\right)^2=0\\ \Leftrightarrow x=y=z=3\)
Thay vào ta thấy thỏa mãn -> x=y=z=3 là nghiệm hpt
10 tháng 9 2023
a) \(x^3-4x^2-5x+6=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)
\(\Leftrightarrow-7x^2-9x+4+x^3+3x^2+4x+2=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(7x^2+9x-4\right)+\left(x+1\right)^3+x+1=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\) (*)
Đặt \(\sqrt[3]{7x^2+9x-4}=a;x+1=b\)
Khi đó (*) \(\Leftrightarrow-a^3+b^3+b=a\)
\(\Leftrightarrow\left(b-a\right).\left(b^2+ab+a^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b=a\)
Hay \(x+1=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=7x^2+9x-4\)
\(\Leftrightarrow x^3-4x^2-6x+5=0\)
\(\Leftrightarrow x^3-4x^2-5x-x+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
1 tháng 1 2018
đặt \(\sqrt{x+y-4}=a;\sqrt{x-y+4}=b;\sqrt{-x+y+4}=c\left(a;b;c\ge0\right)\)
pt trở thành a+b+c=\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)
bunhia có VT\(\le\)VP
dấu = xảy ra <=>a=b=c<=>x=y=4
HP
18 tháng 5 2022
\(\left\{{}\begin{matrix}4\sqrt{x}-3\sqrt{y}=4\\2\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4\sqrt{x}-3\sqrt{y}=4\\4\sqrt{x}+2\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\sqrt{y}=0\\2\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y}=0\\\sqrt{x}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
18 tháng 5 2022
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4\sqrt{x}-3\sqrt{y}=4\\4\sqrt{x}+2\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 4 2023
Bài 1: ĐKXĐ: $2\leq x\leq 4$
PT $\Leftrightarrow (\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x})^2=2$
$\Leftrightarrow 2+2\sqrt{(x-2)(4-x)}=2$
$\Leftrightarrow (x-2)(4-x)=0$
$\Leftrightarrow x-2=0$ hoặc $4-x=0$
$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=4$ (tm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 4 2023
Bài 2:
PT $\Leftrightarrow 4x^3(x-1)-3x^2(x-1)+6x(x-1)-4(x-1)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(4x^3-3x^2+6x-4)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $4x^3-3x^2+6x-4=0$
Với $4x^3-3x^2+6x-4=0(*)$
Đặt $x=t+\frac{1}{4}$ thì pt $(*)$ trở thành:
$4t^3+\frac{21}{4}t-\frac{21}{8}=0$
Đặt $t=m-\frac{7}{16m}$ thì pt trở thành:
$4m^3-\frac{343}{1024m^3}-\frac{21}{8}=0$
$\Leftrightarrow 4096m^6-2688m^3-343=0$
Coi đây là pt bậc 2 ẩn $m^3$ và giải ta thu được \(m=\frac{\sqrt[3]{49}}{4}\) hoặc \(m=\frac{-\sqrt[3]{7}}{4}\)
Khi đó ta thu được \(x=\frac{1}{4}(1-\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49})\)
16 tháng 9 2021
\(a,\) Sửa đề: \(\sqrt{3x^2-12x+16}+\sqrt{y^2-4y+13}=5\)
Ta thấy \(3x^2-12x+16=3\left(x-2\right)^2+4\ge4\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-12x+16}\ge\sqrt{4}=2\)
\(y^2-4y+13=\left(y-2\right)^2+9\ge9\Leftrightarrow\sqrt{y^2-4y+13}\ge\sqrt{9}=3\)
Cộng vế theo vế 2 BĐT trên:
\(\sqrt{3x^2-12x+16}+\sqrt{y^2-4y+13}\ge2+3=5\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=2\)
Vậy pt có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(2;2\right)\)
16 tháng 9 2021
\(b,x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\\ \Leftrightarrow x+y+z+4-2\sqrt{x-2}-4\sqrt{y-3}-6\sqrt{z-5}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-4\sqrt{y-3}+4\right)+\left(z-5+6\sqrt{z-5}+9\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}-1=0\\\sqrt{y-3}-2=0\\\sqrt{z-5}-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\y-3=4\\z-5=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=7\\z=14\end{matrix}\right.\)
TT
2 tháng 9 2020
Bạn xem lại đề câu b và c nhé !
a) \(\sqrt{x^2+2x+4}\ge x-2\) \(\left(ĐK:x\ge2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+4>x^2-4x+4\)
\(\Leftrightarrow6x>0\Leftrightarrow x>0\) kết hợp với ĐKXĐ
\(\Rightarrow x\ge2\) thỏa mãn đề.
d) \(x+y+z+4=2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}\)
\(ĐKXĐ:x\ge2,y\ge3,z\ge5\)
Pt tương đương :
\(\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-4\sqrt{y-3}+4\right)+\left(z-5-6\sqrt{z-5}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{z-5}=3\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=7\\z=14\end{cases}}\) ( Thỏa mãn ĐKXĐ )
e) \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\) (1)
\(ĐKXĐ:x\ge0,y\ge1,z\ge2\)
Phương trình (1) tương đương :
\(x+y+z-2\sqrt{x}-2\sqrt{y-1}-2\sqrt{z-2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=1\\\sqrt{y-1}=1\\\sqrt{z-2}=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)( Thỏa mãn ĐKXĐ )
H9
HT.Phong (9A5)
CTVHS
13 tháng 7 2023
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{\sqrt{x+y}}-\dfrac{2}{\sqrt{x-y}}=4\\\dfrac{2}{\sqrt{x+y}}-\dfrac{1}{\sqrt{x-y}}=5\end{matrix}\right.\)
Đặt: \(t=\sqrt{x+y}\) và \(k=\sqrt{x-y}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{t}-\dfrac{2}{k}=4\\\dfrac{2}{t}+\dfrac{1}{k}=5\end{matrix}\right.\)
Ta lại đặt: \(a=\dfrac{1}{t}\) và \(u=\dfrac{1}{k}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2u=4\\2a+u=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2u=4\\4a+2u=10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-2u=4\\7a=14\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-2u=4\\a=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=1\\a=2\end{matrix}\right.\)
Mà:
\(u=1\Rightarrow\dfrac{1}{k}=1\Rightarrow k=1\)
\(a=2\Rightarrow\dfrac{1}{t}=2\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\)
Ta lại có:
\(k=1\Rightarrow\sqrt{x+y}=1\)
\(t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\sqrt{x-y}=\dfrac{1}{2}\)
Ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-y}=1\\\sqrt{x+y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x+y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\2x=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{8}-y=1\\x=\dfrac{5}{8}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{3}{8}\\x=\dfrac{5}{8}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(x-\dfrac{5}{8};y=-\dfrac{3}{8}\)
13 tháng 7 2023
Đặt 1/căn x+y=a; 1/căn x-y=b
Theo đề, ta có hệ:
3a-2b=4 và 2a+b=5
=>a=2 và b=1
=>x+y=1/4 và x-y=1
=>x=5/8 và y=-3/8
NL
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2021
Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 0; y\geq 1; z\geq 2$
PT \(\Leftrightarrow (x-2\sqrt{x}+1)+[(y-1)-4\sqrt{y-1}+4]+[(z-2)-6\sqrt{z-2}+9]=0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2+(\sqrt{y-1}-2)^2+(\sqrt{z-2}-3)^2=0\)
Vì \((\sqrt{x}-1)^2, (\sqrt{y-1}-2)^2, (\sqrt{z-2}-3)^2\geq 0\) nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
\((\sqrt{x}-1)^2=(\sqrt{y-1}-2)^2=(\sqrt{z-2}-3)^2=0\)
$\Leftrightarrow x=1; y=5; z=11$
\(\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}+\sqrt{-x+y+4}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\)
ĐKXĐ:
\(x+y-4\ge0\rightarrow x+y\ge4\rightarrow x+y\ge4\)
\(x-y+4\ge0\rightarrow x-y\ge-4\rightarrow x-y\ge-4\)
\(-x+y+4\ge0\rightarrow-x+y\ge-4\rightarrow x-y\le4\)
\(x\ge0\)
\(y\ge0\)
Với \(a;b\ge0\) ta có:
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+b+2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
\(\rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}\le\sqrt{2\left(x+y-4+x-y+4\right)}=2\sqrt{x}\\\sqrt{x+y-4}+\sqrt{-x+y+4}\le\sqrt{2[\left(x+y-4\right)+\left(-x+y+4\right)]}=2\sqrt{y}\\\sqrt{x-y+4}+\sqrt{-x+y+4}\le\sqrt{2[\left(x-y+4\right)+\left(-x+y+4\right)}=4\end{cases}}\)
\(\rightarrow2\sqrt{x+y-4}+2\sqrt{x-y+4}+2\sqrt{-x+y+4}\le2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+4\)
\(\rightarrow\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}+\sqrt{-x+y+4}\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y-4=x-y+4\\x+y-4=-x+y+4\\x-y+4=-x+y+4\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=4\) (Thoả mãn)