Question

[Thơ Anh]

Tìm các số nguyên x,y thoả mãn \(y=\dfrac{x^3+1}{x^4+1}\)

Giải hẳn cho mình ra với ạ. Cảm ơn các bạn rất nhiềuuuu

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:Để $y$ nguyên thì $x^3+1\vdots x^4+1$

$\Leftrightarrow x^4+x\vdots x^4+1$

$\Leftrightarrow x^4+1+x-1\vdots x^4+1$

$\Leftrightarrow x-1\vdots x^4+1$

Nếu $x-1=0$ thì điều trên đúng. Kéo theo $y=1$

Nếu $x-1\neq 0$ thì $|x-1|\geq x^4+1(*)$

Cho $x>1$ thì $(*)\Leftrightarrow x-1\geq x^4+1$

$\Leftrightarrow x(1-x^3)-2\geq 0$ (vô lý với mọi $x>1$)

Cho $x< 1$ thì $(*)\Leftrightarrow 1-x\geq x^4+1$

$\Leftrightarrow x^4+x\leq 0$

$\Leftrightarrow x(x^3+1)\leq 0$

$\Leftrightarrow -1\leq x\leq 0$. Do $x$ nguyên nên $x=-1$ hoặc $x=0$

Với $x=-1$ thì $y=0$

Với $x=0$ thì $y=1$

Vậy..........