Question

[Quách Ngọc Tùng Ngân]

\(\sqrt{2x^2+11x+15}+\sqrt{x^2+2x-3}>=x+6\)

Answer 1

[Đỗ Tiến]

Điều kiện : {2x2+11x+15≥0x2+2x−3≥0⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎣x≤−3x≥−52[x≤−3x≥1⇔[x≤−3x≥1{2x2+11x+15≥0x2+2x−3≥0⇔{[x≤−3x≥−52[x≤−3x≥1⇔[x≤−3x≥1

Bất phương trình đã cho ta biến đổi thành bất phương trình : 
 

22x2+11x+15−−−−−−−−−−−−√+2x2+2x−3−−−−−−−−−√≥2x+12⇔22x2+11x+15−−−−−−−−−−−−√−(2x+9)+2x2+2x−3−−−−−−−−−√−3≤022x2+11x+15+2x2+2x−3≥2x+12⇔22x2+11x+15−(2x+9)+2x2+2x−3−3≤0

⇔4x2+8x−2122x2+11x+15−−−−−−−−−−−−√+2x+9+4x2+8x−212x2+2x−3−−−−−−−−−√+3≥0⇔4x2+8x−2122x2+11x+15+2x+9+4x2+8x−212x2+2x−3+3≥0

⇔(4x2+8x−21)(122x2+11x+15−−−−−−−−−−−−√+2x+9+12x2+2x−3−−−−−−−−−√+3)≥0⇔(4x2+8x−21)(122x2+11x+15+2x+9+12x2+2x−3+3)≥0

Do 122x2+11x+15−−−−−−−−−−−−√+2x+9+12x2+2x−3−−−−−−−−−√+3>0122x2+11x+15+2x+9+12x2+2x−3+3>0 nên ta có 4x2+8x−21≥0.4x2+8x−21≥0.

Tới đây ta có thể giải quyết trọn vẹn bài toán rồi.

Bây giờ mình giải thích việc vì sao mình nhân 22 cho hai vế và tách ra hai vế 2x+92x+9 và 3.3. 

Từ việc nhẩm hai nghiệm của phương trình : 2x2+11x+15−−−−−−−−−−−−√+x2+2x−3−−−−−−−−−√=x+62x2+11x+15+x2+2x−3=x+6 là −72;32.−72;32.

Khi đó ta cần muốn tách nhân tử chung sao cho có chứa hai nghiệm ta đã nhẩm được. Do ta thu được hai nghiệm nên ta cần nhân tử chung là một phương trình bậc hai, vì thế ta cần có trước một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm này. Như vậy ta chỉ cần lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm −72−72 và 32.32. Theo viét đảo ta có :

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪−72+32=−2−72⋅32=−214{−72+32=−2−72⋅32=−214

Từ đó ta suy ra −72−72 và 3232 là hai nghiệm của phương trình :

x2+2x−214=0⇔4x2+8x−21=0x2+2x−214=0⇔4x2+8x−21=0

Vậy bây giờ vấn đề quan trọng là chúng ta cần xuất hiện nhân tử chung 4x2+8x−21.4x2+8x−21. 
Quan sát bài toán ta thấy vế trái của bất phương trình chứa hai căn bậc hai. Mặt khác chúng ta cần tạo ra một nhân tử chung là một phương trình bậc hai nên ta cần thêm vào hai căn bậc hai một biểu thức bậc nhất hoặc một hằng số cố định nào đó theo cách thức xác định hệ số bất định như sau : 
Trường hợp 1 : Với 2x2+11x+15−−−−−−−−−−−−√2x2+11x+15 ta thêm bớt một đại lượng bậc nhất như sau :

2x2+11x+15−−−−−−−−−−−−√−(ax+b)=0(1)2x2+11x+15−(ax+b)=0(1)

Ta cần phải có hai nghiệm thỏa mãn phươn trình này nên ta thay hai nghiệm −72−72 và 3232 vào phương trình (1)(1) ta thu được hệ :

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪72a−b=−1−32a−b=6⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=1b=92{72a−b=−1−32a−b=6⇔{a=1b=92

Trường hợp 2 : Với x2+2x−3−−−−−−−−−√x2+2x−3 ta cũng thêm bớt tương tự như vậy và làm tương tự như trường hợp 11 ta cũng thu được a=0; b=32a=0; b=32
Lúc này ta sẽ thay đổi vế trái của bất phương trình thành :

2x2+11x+15−−−−−−−−−−−−√−(x+92)+x2+2x−3−−−−−−−−−√−32=2x2+11x+15−−−−−−−−−−−−√+x2+2x−3−−−−−−−−−√−x−62x2+11x+15−(x+92)+x2+2x−3−32=2x2+11x+15+x2+2x−3−x−6

Như vậy để xuất hiện nhân tử chung 4x2+8x−214x2+8x−21 ta cần chuyển x+6x+6 sang vế trái của bất phương trình đã cho và tách −x−6=−x−92−32.−x−6=−x−92−32.
Và để tránh có phân số mình sẽ chuẩn bị nhân 22 cho hai vế của bất phương trình ta sẽ tách được gọn và đẹp hơn.
Đó chính là lí do mình dẫn đến cách làm như trên mà mình đã trình bày.