Cho a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd .Chứng minh a = b = c = d
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
EC
1
HL
28 tháng 1 2018
Với a,b,c,d >0\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+\left(2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(ab-cd\right)^2=0\)
Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(c^2-d^2\right)^2\ge0\forall c,d\\\left(ab-cd\right)^2\ge0\forall a,b,c,d\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=0\\c^2-d^2=0\\ab-cd=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\left(\text{đ}pcm\right)\)
HN
1
13 tháng 5 2022
Ta có:\(a^4;b^4;c^4;d^4\ge0;\forall a;b;c;d\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) ( đfcm )
15 tháng 8 2016
Ta áp dụng Cauchy 2 số
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\cdot2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Dấu = khi \(\begin{cases}a^4=b^4\\c^4=d^4\\a^2b^2=c^2d^2\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)
15 tháng 8 2016
Nhanh hơn có thể dùng Cauchy 4 số
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Dấu = khi các biến bằng nhau
\(\Leftrightarrow a=b=c=d\)
10 tháng 12 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho những số không âm, ta được:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^4\cdot d^4}=4abcd\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=d
hay tứ giác ABCD là hình thoi
DL
4
2 tháng 8 2017
\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd.\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+\left(ab-cd\right)^2=0\)
VÌ \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0;\left(c^2-d^2\right)^2\ge0\)
\(\left(ab-cd\right)^2\ge0\)
mà \(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+\left(ab-cd\right)^2=0\)
nên \(\hept{\begin{cases}a^2-b^2=0\\c^2-d^2=0\\ab-cd=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{cases}}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\a^2=c^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\a=c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d\left(dcpcm\right)\)
LD
0
CH
4
ML
11 tháng 6 2015
\(0=a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd\)
\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(a^2b^2-2ab.cd+c^2d^2\right)\)
\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+\left(ab-cd\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi các số trong ngoặc bằng 0 hay \(a=b=c=d\)
11 tháng 6 2015
a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
=>a^4-2a^2b^4+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4+2a^2 b^2-4abcd + 2c^2 d^2=0
=> (a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
Tới đây có thể suy ra a+b+c+d