cho ba số 0 \(\le\)a\(\le\)b\(\le\)c\(\le\)1 c/m rằng \(\frac{a}{bc+1}\)+\(\frac{b}{ac+1}\)+\(\frac{c}{ab+1}\)\(\le\)2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 1 2017
Đặt: \(P=\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\)
Từ đề bài ta có: \(abc\ge0\)
Ta chứng minh: \(\frac{a}{1+bc}\le\frac{2a}{2+abc}\)
\(\Leftrightarrow2a+a^2bc\le2a+2abc\)
\(\Leftrightarrow abc\left(2-a\right)\ge0\)(đúng)
Tương tự ta có:
\(\frac{b}{1+ac}\le\frac{2b}{2+abc}\)
\(\frac{c}{1+ab}\le\frac{2c}{2+abc}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{2+abc}\)
\(\Rightarrow P-2\le\frac{2\left(a+b+c-2-abc\right)}{2+abc}\)
\(=-\frac{2\left(\left(1-a\right)\left(1-b\right)+\left(1-c\right)\left(1-ab\right)\right)}{2+abc}\)
\(\le0\)(vì \(0\le a\le b\le c\le1\))
\(\Rightarrow P\le2\)
Vậy \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)
TN
23 tháng 1 2017
Từ \(\hept{\begin{cases}a\le1\Rightarrow a-1\le0\\b\le1\Rightarrow b-1\le0\end{cases}}\) suy ra \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\Rightarrow ab+1\ge a+b\Rightarrow2ab+1\ge a+b\left(ab\ge0\right)\)
\(\Rightarrow2ab+2\ge a+b+c\left(1\ge c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2ab+2}\le\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\frac{1}{2\left(ab+1\right)}\le\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\\\frac{b}{ac+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\end{cases}}\).Cộng theo vế ta có:
\(VT\le\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
quá nhiều ý tưởng mà ko ai vào chém à
13 tháng 3 2017
\(a\le1;b\le1\Rightarrow a-1\le0;b-1\le0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\frac{1}{ab+1}\le\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\\\frac{b}{ac+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (đpcm)
A
1
2 tháng 2 2018
Bài này lớp 7 là khó đấy \(0\le a\le b\le c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a\ge0\\1-b\ge0\end{cases}\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0}\)
\(\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)(*)
Vì \(0\le a\le b\le c\le1\) nên \(\hept{\begin{cases}ab\ge0\\1\ge c\end{cases}\Rightarrow ab+1\ge c}\)Kết hợp với (*) ta được :
\(2\left(ab+1\right)\ge a+b+c\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{ab+1}\le\frac{2}{a+b+c}\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{2}{a+b+c}\)(1)
Chứng minh tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\text{ }\left(2\right)\\\frac{b}{ac+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\text{ }\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1);(2);(3) ta được :
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(đpcm)