Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AB = 12cm. M là trung điểm của BC,
N là trung điểm của AC. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.
a. Tính MN. Chứng minh ABEC là hình chữ nhật.
b. D đối xứng với B qua A. Chứng minh CE = AD. Từ đó suy ra ADCE là hình bình hành.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
Ta có: MB = MC; MA = MD (gt)
⇒ Tứ giác ABDC là hình bình hành
Mà: ∠A = 90°
⇒ Tứ giác ABDC là hình chữ nhật (đpcm)
b)
Gọi O là giao điểm của AC và AE
ΔAED có: OA = OE (E đối xứng với A qua BC); MA = MD (gt)
⇒ OM là đường trung bình của ΔAED
⇒ OM // ED (1)
Vì: E đối xứng với A qua BC
⇒ BC là đường trung trực của AE
⇒ BC ⊥ AE hay OM ⊥ AE (2)
Từ (1), (2) ⇒ ED ⊥ AE (đpcm)
c)
Ta có: BC // ED (OM // ED)
⇒ Tứ giác BEDC là hình thang
Ta có: BD = AC (Tứ giác ABDC là hình chữ nhật) (a)
ΔAEC có: CO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
⇒ ΔAEC cân tại C ⇒ CA = CE (b)
Từ (a), (b) ⇒ BD = EC
Hình thang BEDC có: BD = EC
⇒ Tứ giác BEDC là hình thang cân
a: Xét tứ giác ABEC có
M là trung điểm của BC
M là trung điểm của AE
Do đó: ABEC là hình bình hành
mà \(\widehat{BAC}=90^0\)
nên ABEC là hình chữ nhật
b: Để ABEC là hình vuông thì AB=AC
a: Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=\widehat{FAE}=90^0\)
Do đó: AEMF là hình chữ nhật
a: Xét tứ giác ABEC có
D là trung điểm của BC
D là trung điểm của AE
Do đó: ABEC là hình bình hành
mà \(\widehat{BAC}=90^0\)
nên ABEC là hình chữ nhật
b: Xét ΔBAG có
BH là đường cao
BH là đường trung tuyến
Do đó: ΔBAG cân tại B
Suy ra: BA=BG
mà BA=CE
nên BG=CE
Bài 1:
a: Xét tứ giác ABEC có
D là trung điểm chung của AE và BC
nên ABEC là hình bình hành
Hình bình hành ABEC có \(\widehat{BAC}=90^0\)
nên ABEC là hình chữ nhật
b: ABEC là hình chữ nhật
=>AB//CE và AB=CE
AB=CE
AB=AF
Do đó: CE=AF
AB//CE
\(A\in BF\)
Do đó: BF//CE
=>FA//CE
Xét tứ giác AECF có
AF//CE
AF=CE
Do đó: AECF là hình bình hành
=>AE//CF
c: Xét tứ giác BECF có
BF//CE
nên BECF là hình thang
Hình thang BECF có \(EB\perp BF\)
nên BECF là hình thang vuông
ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AB^2=10^2-8^2=36\)
=>AB=6(cm)
ABEC là hình chữ nhật
=>\(S_{ABEC}=AB\cdot AC=6\cdot8=48\left(cm^2\right)\)
ΔCAF vuông tại A
=>\(S_{ACF}=\dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot AF=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8=\dfrac{1}{2}\cdot48=24\)
=>\(S_{ABEC}>S_{ACF}\)
a: Xét tứ giác AKMN có
MN//AK
AN//MK
Do đó: AKMN là hình bình hành
mà \(\widehat{NAK}=90^0\)
nên AKMN là hình chữ nhật
b: Xét ΔAMQ có
AN là đường cao
AN là đường trung tuyến
Do đó: ΔAMQ cân tại A
mà AN là đường cao
nên AN là tia phân giác của góc MAQ(1)
Xét ΔAME có
AK là đường cao
AK là đường trung tuyến
DO đó: ΔAME cân tại A
mà AK là đường cao
nên AK là tia phân giác của góc MAE(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{QAE}=2\cdot\left(\widehat{MAN}+\widehat{MAK}\right)=2\cdot90^0=180^0\)
hay Q,E,A thẳng hàng
a: Xét tứ giác AEDF có
AE//DF
DE//AF
Do đó: AEDF là hình bình hành
mà \(\widehat{DAE}=90^0\)
nên AEDF là hình chữ nhật
a, Vì DE//AB nên DE⊥AC và DF//AC nên DF⊥AB
Vì \(\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{EAF}=90^0\) nên AEDF là hcn
b,Vì E là trung điểm MD và AC nên AMCD là hbh
Mà AC⊥DE nên AMCD là hthoi
c, Vì D là trung điểm BC và AK và \(\widehat{BAC}=90^0\) nên ABKC là hcn
Để ABKC là hv thì AB=AC hay tam giác ABC vuông cân tại A
Lời giải:
a. $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AC$ thì $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $AB$
$\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.12=6$ (cm)
b. $E, A$ đối xứng nhau qua $M$ nghĩa là $M$ là trung điểm $AE$.
Tứ giác $ABEC$ có 2 đường chéo $BC, AE$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $ABEC$ là hình bình hành
Mà $\widehat{BAC}=90^0$ nên $ABEC$ là hình chữ nhật.
b. Vì $B,D$ đối xứng nhau qua $A$ nên $BA=AD$
$ABEC$ là hcn (cmt) nên $AB=EC$
$\Rightarrow AD=EC$ (đpcm)
Mặt khác:
$ABEC$ là hcn nên $AB\parallel EC\Rightarrow AD\parallel EC$
Xét tứ giác $ADCE$ có $AD=CE$ và $AD\parallel CE$ nên $ADCE$ là hbh (đpcm)
Hình vẽ: