Question

[Nguyen Ngoc Nhu Huynh]

Cho ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Kẻ HDAB tại D và HEAC tại E.

a, Chứng minh AH = DE

b, Gọi F đối xứng với H qua D. Chứng minh tứ giác AEDF là hình bình hành.

c, Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh AMAF.

Trả Lời 

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Ta có

 \(AE\perp AB;HD\perp AB\) => AE // HD

\(AD\perp AC;HE\perp AC\) => AD // HE

=> AEHD là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối //)

Mà \(\widehat{BAC}=90^o\) 

=> AEHD là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông) => AH=DE (trong HCN hai đường chéo bằng nhau)

b/

Ta có

AEDF là HCN => AE = HD (cạnh đối của HCN)

HD=DF (gt)

=> AE = DF

Mà AE // DF

=> AEDF là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và băng nhau)

c/

Xét tg vuông ABC

Ta có BM=MC=BC/2 (gt) => AM=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> AM=MC => tg AMC cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ACB}\)

Ta có \(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{BAH}\)(1)

Xét tg AFH có

\(HF\perp AB\) => AB là đường cao của tg AFH

HD = FD => AB là trung tuyến của tg AFH

=> tg AFH cân tại A \(\Rightarrow\widehat{FAB}=\widehat{BAH}\) (trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường phân giác) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{FAB}=\widehat{MAC}\)

Mà \(\widehat{MAC}+\widehat{BAM}=\widehat{BAC}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FAB}+\widehat{BAM}=90^o\Rightarrow AM\perp AF\)