\(P=\frac{3\left(x^2+1\right)+x^2y^2+y^2-2}{\left(x+y\right)^2+5}\)
CMR với mọi x,y \(\inℚ\)thì P luôn là số dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 3 2016
Xét tử và mẫu của phân số này.
Ta thấy mẫu số là (x+y)^2+5 có (x+y)^2>=0
5 > 0
=> (x+y)^2+5>0
Ta thấy tử số là 3(x^2+1)+x^2*y^2+y^2-2 có
+) x^2+1>=1 ( do x^2>=0) => 3(x^2+1)>=3
+) x^2*y^2 >=0
+)y^2 >=0
Từ các điều trên => 3(x^2+1)+x^2*y^2+y^2>=3
=> 3(x^2+1)+x^2*y^2+y^2-2>=1>0
=> M dương
Vậy M luôn dương với mọi x và y
G
8 tháng 2 2019
Hiển nhiên mẫu lớn hơn 0,ta chứng minh tử >0 là xong ^^
\(3\left(x^2+1\right)+x^2y^2+y^2-2\)
\(=3x^2+3+x^2y^2+y^2-2\)
\(=3x^2+x^2y^2+y^2+1>0\rightarrowđpcm\)
21 tháng 2 2020
ko hiểu ,mày bị điên à . Anh thách mày giải được đấy !!!! Giải được cho tiền nhé !!!! Bye .
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 4 2021
Lời giải:
$M=\frac{3(x^2+1)+x^2y^2+y^2-2}{(x+y)^2+5}=\frac{3x^2+x^2y^2+y^2+1}{(x+y)^2+5}$
Ta thấy:
$x^2\geq 0; x^2y^2\geq 0; y^2\geq 0$ nên:
$3x^2+x^2y^2+y^2+1\geq 1>0$ với mọi $x\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}$
$(x+y)^2\geq 0\Rightarrow (x+y)^2+5\geq 5>0$ với mọi
$x\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}$
Do đó: $M>0$ (do cả tử và mẫu đều lớn hơn 0)
Hay $M$ là số dương (đpcm)
11 tháng 8 2016
Từ giả thiết \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Khi đó \(\frac{x}{1+x^2}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}=\frac{\frac{1}{x}}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)}=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự cho 2 cái còn lại ta có: \(\frac{y}{1+y^2}=\frac{xyz}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}\)
\(\frac{z}{1+z^2}=\frac{xyz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\)
Suy ra \(VT=\frac{xyz\left(y+z\right)+2xyz\left(z+x\right)+3xyz\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Đpcm
12 tháng 3 2021
1)
+) Ta có
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\) ( đpcm )
+ ) Theo phần trên
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\) ( đpcm )
KN
13 tháng 3 2021
2,
Ta có: \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)+5\left(y+z\right)^2=28yz\le7\left(y+z\right)^2\)\(\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)-2\left(y+z\right)^2\le0\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}-2\le0\)\(\Leftrightarrow\left(5.\frac{x}{y+z}+1\right)\left(\frac{x}{y+z}-2\right)\le0\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2\)(Do \(5.\frac{x}{y+z}+1>0\forall x,y,z>0\))
\(\Rightarrow E=\frac{2x-y-z}{y+z}=2.\frac{x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(y=z=\frac{x}{4}\)
ta có
\(3\left(x^2+1\right)+x^2y^2+y^2-2=3x^2+x^2y^2+y^2+1>0\)
\(\left(x+y\right)^2+5\ge5>0\)
Do đó ta có
\(P=\frac{3\left(x^2+1\right)+x^2y^2+y^2-2}{\left(x+y\right)^2+5}>0\) với mọi số x,y