a,b,c>0 . Tìm Min \(E=\left(1+\dfrac{a}{2b}\right)\left(1+\dfrac{b}{2c}\right)\left(1+\dfrac{1}{2a}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 4 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(B=\frac{1}{(a+2b)(a+2c)}+\frac{1}{(b+2a)(b+2c)}+\frac{1}{(c+2a)(c+2b)}\)
\(\geq \frac{9}{(a+2b)(a+2c)+(b+2a)(b+2c)+(c+2a)(c+2b)}\)
\(\Leftrightarrow B\geq \frac{9}{(a^2+2ac+2ab+4bc)+(b^2+2bc+2ab+4ac)+(c^2+2bc+2ac+4ab)}\)
\(\Leftrightarrow B\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ac)}=\frac{9}{(a+b+c)^2+6(ab+bc+ac)}(*)\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cô-si:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow 2(a+b+c)^2\geq 6(ab+bc+ac)(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow B\geq \frac{9}{(a+b+c)^2+2(a+b+c)^2}=\frac{3}{(a+b+c)^2}\geq \frac{3}{3^2}=\frac{1}{3}\)
(do \(a+b+c\leq 3)\)
Do đó: \(B_{\min}=\frac{1}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
KK
15 tháng 3 2017
\(P=\dfrac{1}{a\left(2b+2c-1\right)}+\dfrac{1}{b\left(2c+2a-1\right)}+\dfrac{1}{c\left(2a+2b-1\right)}\)
\(P=\dfrac{1}{a\left[2b+2c-\left(a+b+c\right)\right]}+\dfrac{1}{b\left[2c+2a-\left(a+b+c\right)\right]}+\dfrac{1}{c\left[2a+2b-\left(a+b+c\right)\right]}\)
\(P=\dfrac{1}{a\left(b+c-a\right)}+\dfrac{1}{b\left(c+a-b\right)}+\dfrac{1}{c\left(a+b-c\right)}\)
\(P=\dfrac{1}{ab+ac-a^2}+\dfrac{1}{bc+ab-b^2}+\dfrac{1}{ca+bc-c^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{-a^2-b^2-c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{-\left[a^2+b^2+c^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]}\) ( 1 )
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2\left(ab+bc+ca\right)\ge-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow-\left[a^2+b^2+c^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\le ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{-\left[a^2+b^2+c^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]}\ge\dfrac{9}{ab+bc+ca}\)
Từ ( 1 )
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow1\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow27\le\dfrac{9}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge27\)
Vậy \(P_{min}=27\)
15 tháng 3 2017
uk t ấn nhầm . t ghi lại đúng đây c lm hộ t vs
\(P=\dfrac{1}{a\left(2b+2c-1\right)}+\dfrac{1}{b\left(2c+2a-1\right)}+\dfrac{1}{c\left(2a+2b-1\right)}\)
4 tháng 7 2021
\(S=\left(1+\dfrac{2a}{3b}\right)\left(1+\dfrac{2b}{3c}\right)\left(1+\dfrac{2c}{3d}\right)\left(1+\dfrac{2d}{3a}\right)\)
có \(1+\dfrac{2a}{3b}\ge2\sqrt{\dfrac{2a}{3b}}\)(BDT AM-GM)
\(=>1+\dfrac{2b}{3c}\ge2\sqrt{\dfrac{2b}{3c}}\)
\(=>1+\dfrac{2c}{3d}\ge2\sqrt{\dfrac{2c}{3d}}\)
\(=>1+\dfrac{2d}{3a}\ge2\sqrt{\dfrac{2d}{3a}}\)
\(=>S\ge16\sqrt{\dfrac{2a.2b.2c.2d}{3a.3b.3c.3d}}=16\sqrt{\dfrac{16abcd}{81abcd}}=16\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\dfrac{64}{9}\)
13 tháng 6 2021
Có \(ab+bc+ac=abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng các bđt sau:Với x;y;z>0 có: \(\dfrac{1}{x+y+z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\) và \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Có \(\dfrac{1}{a+3b+2c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}\right)\)\(\le\dfrac{1}{9}.\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)=\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
CMTT: \(\dfrac{1}{b+3c+2a}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{3}{c}+\dfrac{2}{a}\right)\)
\(\dfrac{1}{c+3a+2b}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}\right)\)
Cộng vế với vế => \(VT\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{36}.6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=3
13 tháng 6 2021
Có \(a+b=2\Leftrightarrow2\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le1\)
\(E=\left(3a^2+2b\right)\left(3b^2+2a\right)+5a^2b+5ab^2+2ab\)
\(=9a^2b^2+6\left(a^3+b^3\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)
\(=9a^2b^2+6\left(a+b\right)^3-18ab\left(a+b\right)+4ab+5ab\left(a+b\right)+20ab\)
\(=9a^2b^2+48-18ab.2+4ab+5.2.ab+20ab\)
\(=9a^2b^2-2ab+48\)
Đặt \(f\left(ab\right)=9a^2b^2-2ab+48;ab\le1\), đỉnh \(I\left(\dfrac{1}{9};\dfrac{431}{9}\right)\)
Hàm đồng biến trên khoảng \(\left[\dfrac{1}{9};1\right]\backslash\left\{\dfrac{1}{9}\right\}\)
\(\Rightarrow f\left(ab\right)_{max}=55\Leftrightarrow ab=1\)
\(\Rightarrow E_{max}=55\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 1 2022
\(\dfrac{a^3}{\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)}+\dfrac{a+2b}{27}+\dfrac{b+2c}{27}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)}{27^2.\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)}}=\dfrac{a}{3}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b^3}{\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)}+\dfrac{b+2c}{27}+\dfrac{c+2a}{27}\ge\dfrac{b}{3}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(c+2a\right)\left(a+2b\right)}+\dfrac{c+2a}{27}+\dfrac{a+2b}{27}\ge\dfrac{c}{3}\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{9}\ge\dfrac{a+b+c}{3}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{9}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Số hạng cuối là \(1+\dfrac{c}{2a}\) mới đúng chứ bạn?
Đúng rồi là như thế . Mk nhìn nhầm