cho a,b là các số dương và a+b>1.CMR \(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 3 2019
Dễ thấy các hệ số tương đồng nhau nên có thể biến đổi bđt về dạng sau :
\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\right)\ge5\)
Ta đi chứng minh bđt phụ sau : \(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2a}{3}\)(1)
\(Bđt\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}-\frac{7}{3}+\frac{2a}{3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3+2a^4-7a^2+2a^3}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^4-2a^2+1\right)+2a^3-3a^2+1}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2-1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a^2-1\right)}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+2a^2-a-1\right]}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+\left(a-1\right)\left(2a+1\right)\right]}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left[2\left(a+1\right)^2+2a+1\right]}{3a^2}\ge0\)(Luôn đúng do a > 0 nên [...] > 0)
Dấu "=" <=> a = 1
Thiết lập các bđt còn lại \(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2b}{3}\)
\(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2c}{3}\)
Cộng 3 vế của bdtd lại ta được
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge7-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=7-\frac{2.3}{3}=5\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
EO
1
25 tháng 4 2020
vì a,b dương nên BĐT đã cho tương đương với :
\(\frac{a}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}+4\left(\frac{4}{a+b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b^2}+\frac{b-a}{a^2}+4.\frac{4ab-\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{a^2b^2}-\frac{4\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+b\right)^2-4ab\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^4\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra khi a = b
5 tháng 4 2021
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{9}{a+b+c}\right)^2}{3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{9}=\frac{3^2}{3}+\frac{2.9}{9}=5\)
2 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT cô si với hai số không âm, Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\)
Mà \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\forall b,c\ge0\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\b=c\\a=b+c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=c=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
2 tháng 1 2018
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)
Áp dụng BĐT Cô si với 2 số dương ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2,\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2,\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)(đúng)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(do a+b+c=1)
17 tháng 1 2017
Dùng súng lục: "siêu tôc thần sầu" không đủ công lực tiếp nhận
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)=\left(\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\\ \)
nhân phân phối bình thường ra thôi : \(t+\frac{1}{t}\ge2\)khi t>0 đẳng thức khi t=1
Áp vào trên => VT>=(1+1+1)+(2+2+2)=9
thay a+b+c=6 =>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\) =>dpcm
đẳng thúc khi t=1=> a/b=b/c=a/c=> a=b=c
a+b+c=6=> a=b=c=2
16 tháng 2 2019
Bài này bị ngược dấu hả ???
Đây nhé , ta sẽ chứng minh \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) thật vậy
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta được
\(\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b^2}.\frac{1}{a}}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{b}\)
Cộng 2 bđt lại ta được \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
Dấu ''=" xảy ra khi a = b
Bài toán quay trở lại với việc c/m \(\frac{16}{a+b}\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\)với a,b > 0
Ta có bđt sau \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(Quen thuộc)
Áp dụng ta được \(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}=\frac{2^2}{a}+\frac{2^2}{b}\ge\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}=\frac{16}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\ge\frac{16}{a+b}???\) Trái với điều cần c/m
=> Đề sai
17 tháng 2 2019
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3}{a^2b^2}+\frac{16}{a+b}\ge\frac{5.\left(a+b\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}+\frac{16}{a+b}\ge\frac{5.\left(a+b\right)}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{ab}+\frac{16ab}{a+b}\ge5.\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}-1\ge5\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}-2\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge8\) (1)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\ge2.\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}.\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}}=2.\sqrt{16}=2.4=8\)(2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}=\frac{16ab}{\left(a+b\right)^2}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4=\left(4ab\right)^2\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)
CV
6 tháng 5 2018
ta co :
\(\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)>=\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{3}{ab+a+b+1}\)>=\(\frac{3}{4}\)
\(\frac{3}{ab+2}\)>=\(\frac{3}{4}\)
=>\(\frac{1}{ab+2}\)>=\(\frac{1}{4}\)
=>4>=ab+2
=>2>=ab
=>2>=a(1-a) (vi a+b=1)
=>2>=a-a^2
=>a^2-a+2>=0
=>(a-\(\frac{1}{2}\))^2+\(\frac{7}{4}\)>=0 luon dung
=>\(\frac{1}{a+1}\)+\(\frac{1}{b+1}\)>=\(\frac{3}{4}\)
6 tháng 5 2018
a,b dương áp dụng bđt svac xơ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+1+b+1}\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)
Đề sai à bạn
1 tháng 4 2021
\(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=\frac{a+c+2c}{a+b}+\frac{a+b+2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=\frac{a+c}{a+b}+\frac{2c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{a+c}{a+b}\cdot\frac{a+b}{a+c}}=2\)
Cần chứng minh \(2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\ge3\)thì bài toán được chứng minh
tức là \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Tuy nhiên đây là bất đẳng thức Nesbitt quen thuộc nên ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c