Question

[I am➻Minh]

giải phương trình

\(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^2-x-3\)

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

\(ĐK:x\ge\frac{2}{3}\)(/*)

\(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2x^2-x-3\Leftrightarrow\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=\left(2x-3\right)\left(x+1\right)\)\(\Leftrightarrow\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=\left(x+1\right)\left[\left(3x-2\right)-\left(x+1\right)\right]\)

Đặt \(\sqrt{3x-2}=a,\sqrt{x+1}=b\left(a,b>0\right)\)thì phương trình trở thành \(a-b=b^2\left(a^2-b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab^2+b^3-1\right)=0\)

* Xét \(a=b\)thì ta được: \(\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow3x-2=x+1\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\left(t/m\right)\)

* Xét \(ab^2+b^3-1=0\Leftrightarrow b^2\left(a+b\right)=1\)(o)

Với điều kiện (/*) thì ta có: \(b=\sqrt{x+1}\ge\sqrt{\frac{2}{3}+1}=\sqrt{\frac{5}{3}}\Rightarrow b^2\ge\frac{5}{3}\)và \(a\ge0\)

\(\Rightarrow b^2\left(a+b\right)\ge\frac{5}{3}\left(0+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)>1\)suy ra (o) vô nghiệm

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \(\frac{3}{2}\).