Question

[Đã Ẩn]

Cho ΔABC vuông tại B (AB<AC). M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.

a) Tứ giác BMNP là hình gì?

b) Vẽ đường cao BH. Tứ giác HNPM là hình gì?

c) Qua B vẽ đường thẳng songsong AC cắt NP tại K. Tứ giác BNCK là hình gì?

d) ΔABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác BNCK là hình vuông.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔCBA có 

N là trung điểm của BC(gt)

P là trung điểm của CA(gt)

Do đó: NP là đường trung bình của ΔCBA(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒NP//BA và \(NP=\dfrac{BA}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà M∈BA và \(BM=\dfrac{BA}{2}\)(M là trung điểm của BA)

nên NP//BM và NP=BM

Xét tứ giác BMPN có 

NP//BM(cmt)

NP=BM(cmt)

Do đó: BMPN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành BMPN có \(\widehat{NBM}=90^0\)(\(\widehat{ABC}=90^0\), N∈BC, M∈AB)

nên BMPN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Xét ΔBHC vuông tại H có HN là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(N là trung điểm của BC)

nên \(HN=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(BN=\dfrac{BC}{2}\)(N là trung điểm của BC)

nên HN=BN

mà BN=PM(hai cạnh đối trong hình chữ nhật BMPN)

nên PM=HN

Xét ΔABC có

M là trung điểm của AB(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//BC và \(MN=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay NM//PH

Xét tứ giác PHMN có PH//MN(cmt)

nên PHMN là hình thang có hai đáy là PH và MN(Định nghĩa hình thang)

Hình thang PHMN(PH//MN) có HN=PM(cmt)

nên PHMN là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)