\(Chox,y,z>0:xy+x=1\)
Tìm GTLN:\(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
30 tháng 5 2018
\(\dfrac{x}{x+\sqrt{x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)\(\ge\dfrac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
HN
1
SG
24 tháng 4 2023
\(P=\Sigma\dfrac{x}{x+yz}=\Sigma\dfrac{x}{x(x+y+z)+yz}=\Sigma\dfrac{x}{x^2+xy+xz+yz} \\=\Sigma\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}=\dfrac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)
Bất đẳng thức phụ: \(\Pi(x+y)\ge\dfrac{8}{9}(\Sigma x)(\Sigma xy)\)
\(\Leftrightarrow \Sigma(x^2y+x^2z-2xyz)\ge0\) ( đúng do AM-GM )
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=z\)
Áp dụng vào bài toán chính:
\(P\le\dfrac{2(xy+yz+zx)}{\dfrac{8}{9}(\Sigma x)(\Sigma xy)}=\dfrac{9}{4}\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Vậy \(\max P =\dfrac{9}{4} \) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
23 tháng 5 2023
Trước hết, ta đi chứng minh một bổ đề sau: Nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Thật vậy, ta phân tích
\(P=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(P=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(P=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(P=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\).
Hiển nhiên nếu \(a+b+c=0\) thì \(P=0\) hay \(a^3+b^3+c^3=3abc\), bổ đề được chứng minh.
Do \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\) nên áp dụng bổ đề, ta được \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\).
Vì vậy \(\dfrac{yz}{x^2}+\dfrac{zx}{y^2}+\dfrac{xy}{z^2}=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}\) \(=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\) \(=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\). Ta có đpcm