Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left(1;2;-3\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y-z+9=0$. Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương $\stackrel{\to }{u}=\left(3;4-4\right)$ cắt $\left(P\right)$ tại điểm B. Điểm M thay đổi trong $\left(P\right)$ sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc ${90}^0.$ Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A.  $J\left(-3;2;7\right)$

B.  $K\left(3;0;15\right)$

C.  $H\left(-2;-1;3\right)$

D.  $I\left(-1;-2;3\right)$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Phương trình đường thẳng

d : x − 1 3 − = y − 2 4 = z + 3 − 4 .

 Vì 

B ∈ d ⇒ B 3 b + 1 ; 4 b + 2 ; − 4 b − 3

Mà B = d ∩ P suy ra

2 3 b + 1 + 2 4 b + 2 + 4 b + 3 + 9 = 0 ⇔ b = − 1 ⇒ B − 2 ; − 2 ; 1

Gọi A’là hình chiếu của A trên

P ⇒ A   A ' : x − 1 2 = y − 2 2 = z + 3 − 1 ⇒ A ' − 3 ; − 2 ; − 1  

Theo bài ra, ta có 

M A 2 + M B 2 = A B 2 ⇔ M B 2 = A B 2 − M A 2 ≤ A B 2 − A   A ' 2 = A ' B 2

Độ dài MB lớn nhất khi  

M ≡ A ' ⇒ M B : x = − 2 + t y = − 2 z = 1 + 2 t ⇒ I − 1 ; − 2 ; 3 ∈ M B