Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho:p^2+q^2+r^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 3
Lời giải:
Nếu $p,q,r$ đều không chia hết cho 3. Ta biết rằng 1 scp khi chia 3 chỉ có dư $0$ hoặc $1$.
$\Rightarrow p^2,q^2,r^2$ chia $3$ dư $1$
$\Rightarrow p^2+q^2+r^2$ chia $3$ dư $3$ (hay chia 3 dư 0)
$\Rightarrow p^2+q^2+r^2\vdots 3$
Mà $p^2+q^2+r^2>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái với yêu cầu đề bài)
Do vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3 trong 3 số $p,q,r$. Không mất tính tổng quát, giả sử $p\vdots 3\Rightarrow p=3$.
Vì $p,q,r$ là số nguyên tố liên tiếp nên có thể xảy ra các TH: $(q,r)=(2,5)$ hoặc $(q,r)=(5,7)$
Thử thì thấy $(q,r)=(5,7)$
Vậy $(p,q,r)=(3,5,7)$ và hoán vị.
AT
0
HT
0
NN
1
LA
22 tháng 3 2017
Giả sử 3 số nguyên tố p, q, r đều không chia hết cho 3 mà một số chính phương chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1
Nếu p^2, q^2, r^2 chia hết cho 3 suy ra p^2 + q^2 + r^2 chia hết cho 3 ﴾ là hợp số, loại ﴿
Nếu p^2, q^2, r^2 cùng chia 3 dư 1 suy ra p^2 + q^2 + r^2 chia hết cho 3 ﴾ loại ﴿
Nếu trong 3 số có 1 số chia hết cho 3 suy ra p^2 + q^2 + r^2 chia 3 dư 2 ﴾ 2 số còn lại chia 3 dư 1 ﴿ loại
vì không có số chính phương nào chia 3 dư 2
Nếu trong 3 số có 1 số chia 3 dư 1 thì p^2 + q^2 + r^2 chia 3 dư 1 ﴾ 2 số còn lại chia hết cho 3 ﴿ chọn
Vậy trong 3 số p , q , r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 mà p, q, r là các số nguyên tố nên có 1 số nhận giá trị là 3.
Do 1 ko là số nguyên tố nên bộ ba số nguyên tố có thể là 2 ‐ 3 ‐ 5 hoặc 3 ‐ 5 ‐ 7
Với 3 số nguyên tố là 2 ‐ 3 ‐ 5 thì p^2 + q^2 + r^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 = 38 ﴾ là hợp số, loại ﴿
Vậy 3 số nguyên tố cần tìm là 3 5 7
NN
0
NN
0
LV
0
NT
2
3 tháng 4 2017
Vai trò của p,q,r là như nhau nên giả sử như sau:p<q<r
Xét p=2, ta tìm được 3 số là:2;3;5(ko thỏa mãn)
Xét p=3,ta tìm được 3 số là:3;5;7(thỏa mãn)
Xét p>3
Bổ đề:Mọi số nguyên tố>3nên xem bình phương lên thì luôn chia 3 dư 1 thật vậy các số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng:3k+1hoặc 3k+2
Nếu có dạng 3k+1,ta có: (3k+1)2=9k2+6k+1_1(mod3)
Nếu có dạng 3k+2 ,ta có:(3k+2)2=9k2+12k+4_1 (mod3)
Vậy nếu p>3 thì các số q,r>3 nên khi bình phương lên thì đều dư 1
==>p2+q2+r2=0(mod3)
Vậy ta có:(3,5,7)và các hoán vị
DN
2
SI
10 tháng 2 2021
Ta có : p<q<r
- Xét p = 2, tìm được 3 số : 2 ; 3 ; 5 (ktm)
- Xét p = 3, tìm được 3 số : 3 ; 5 ; 7 (tm)
- Xét p > 3 :
Vì mõi số nguyên tố >3 có bình phương luôn có dạng : 3k + 1 ; 3k + 2
+) Nếu có dạng 3k+1,ta có: (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1\(\equiv\)1(mod3)
+) Nếu có dạng 3k+2 ,ta có: (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4\(\equiv\)1 (mod3)
Nếu p > 3 thì p,q,r > 3 nên bình phương của chúng đều dư 1
\(\Rightarrow\)p2 + q2 + r2 \(\equiv\)0 (mod 3)
\(\Rightarrow\)p2 + q2 + r2 (p,q,r > 3) \(⋮\)3 (loại)
Vậy 3 số nguyên tố liên tiếp đó là : 3 ; 5 ; 7
10 tháng 2 2021
- Vì p > q > r nên : p^2 + q^2 > 2
Do vậy p^2 + q^2 + r^2 là số nguyên tố thì p^2 + q^2 + r^2 phải là số lẻ .
=> p^2 ; q^2 ; r^2 là các số lẻ
=> p ; q ; r là các số nguyên tố lẻ
- Trong 3 số p , q , r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số nào chia hết cho 3 thì p^2 , q^2 , r^2 chia 3 đều dư 1, khi đó p^2 + q^2 + r^2 chia hết cho 3 ( mâu thuẫn)
=> p = 3 ( p là số ngyen tố lẻ nhỏ nhất trong 3 số )
= > q = 5 , r = 7