Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian tọa độ cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Gọi M  là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng $∆$ nằm trong mặt phẳng $\left(P\right)$, vuông góc với d đồng thời thỏa mãn khoảng cách từ M tới $∆$ bằng $\sqrt{42}$

A.

  $$\begin{gathered} \frac{x+5}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z+5}{1} \\ \frac{x+3}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z-5}{1} \end{gathered}$$

B. 

$$\begin{gathered} \frac{x-5}{-2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z+5}{1} \\ \frac{x+3}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z-5}{1} \end{gathered}$$

C. 

$$\begin{gathered} \frac{x-5}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z+5}{1} \\ \frac{x+3}{2}=\frac{y+4}{3}=\frac{z-5}{1} \end{gathered}$$

D. 

$$\begin{gathered} \frac{x-5}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z+5}{1} \\ \frac{x+3}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z-5}{1} \end{gathered}$$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Ta có phương trình tham số của d là:

d : x - 3 2 = y + 2 1 = z + 1 - 1

Suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình:

3 + 2t - 2 + t - 1 - t + 2 = 0 nên t = -1 nên M ( 1;-2;0 )

Lại có VTPT của (P) là n P → 1 ; 1 ; 1 , VTCP của d là u d → 2 ; 1 ; - 1

Vì ∆ nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u ∆ → = u d → ; n p → = 2 ; 3 ; - 1

Gọi N ( x;y;z ) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ , khi đó M N → x - 1 ; y + 3 ; z

Ta có M N → vuông góc với u ∆ → nên ta có hệ phương trình: 2x - 3y + z - 11 = 0

Lại có N ∈ P và MN = 42 ta có hệ:

x + y + z = 2 2 x - 3 y + z - 11 = 0 x - 1 2 + y - 3 2 + z 2 = 42

Giải hệ ta tìm được hai nghiệm ( x;y;z ) là ( 5;-2;-5 ) và ( -3;-4;5 )

- Nếu N ( 5;-2;-5 ) ta có phương trình

∆ : x - 5 2 = y + 2 - 3 = z + 5 1

- Nếu N ( -3;-4;5 ) ta có phương trình

∆ = x + 3 2 = y + 4 - 3 = z - 5 1

Đáp án D