Question

[Pham Trong Bach]

Trong khôn gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+{(y-4)}^2+z^2=5$. Tìm tọa độ điểm A thuộc trục Oy, biết rằng ba mặt phẳng phân biệt qua A có các vec-tơ pháp tuyến lần lượt  là các vec-tơ đơn vị của các trục tọa độ cắt mặt cầu theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích là $11\pi$ 

A.  $\left\{\begin{array}{l}A(0;2;0)\\ A(0;6;0)\end{array}\right.$

B.  $\left\{\begin{array}{l}A(0;0;0)\\ A(0;8;0)\end{array}\right.$

C.  $\left\{\begin{array}{l}A(0;0;0)\\ A(0;6;0)\end{array}\right.$

D.  $\left\{\begin{array}{l}A(0;2;0)\\ A(0;8;0)\end{array}\right.$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A.

Mặt cầu (S) có tâm O ( 0 ; 4 ; 0 )  và bán kính R = 5 .Điểm A ∈ O y → A ( 0 ; b ; 0 ) . Khi đó ba mặt phẳng theo giả thiết đi qua A và có phương trình tổng quát lần lượt là α 1 : x = 0 , α 2 : y - b = 0 và α 3 : z = 0  .

Nhận thấy d I ; α 1 = d I ; α 2 = d I ; α 3 = 0 nên mặt cầu (S) cắt các mặt phẳng α 1 , α 3 theo giao tuyến là đường tròn lớn có tâm I, bán kính R = 5 . Tổng diện tích của hai hình tròn đó là S 1 + S 3 = 2 πR 2 = 10 π .

Suy ra mặt cầu (S) cắt α 2 theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích là S 3 = 11 π - S 1 + S 2 = 11 π - 10 π = π . Bán kính đường tròn này là r = S 3 π = 1 .

→ d I , α 3 = R 2 - r 2 = 2 = 4 - b ⇔ b = 2 b = 6 . Vậy A 0 ; 2 ; 0 A ( 0 ; 6 ; 0 ) .