Cho
z
1
,
z
2
,
z
3
,
z
4
là bốn nghiệm của phương trình
z
−
1
2
z
−
i
4
=
1
. Tính giá trị của biểu thức
P
=
z
1
2
+
1
z
2
2
+
1
z
3
2
+
1
z
4
2
+
1
A.
P
=
17
9
...
Đọc tiếp
Cho z 1 , z 2 , z 3 , z 4 là bốn nghiệm của phương trình z − 1 2 z − i 4 = 1 . Tính giá trị của biểu thức P = z 1 2 + 1 z 2 2 + 1 z 3 2 + 1 z 4 2 + 1
A. P = 17 9
B. P = − 17 9
C. P = 425
D. P = − 425
Đáp án C.
Ta có z − 1 2 z − i 4 = 1 ⇔ z − 1 4 − 2 z − i 4 = 0 . Đặt f z = z − 1 4 − 2 z − 1 4 . Phương trình f z = 0 có 4 nghiệm nên f z = 15 z − z 1 z − z 2 z − z 3 z − z 4
Do i 2 = − 1 nên z 2 + 1 = z 2 − i 2 = z − i z + i . Từ đó ta có:
P = z 1 − i z 2 − i z 3 − i z 4 − i . z 1 + i z 2 + i z 3 + i z 4 + i
= i − z 1 i − z 2 i − z 3 i − z 4 . − i − z 1 − i − z 2 − i − z 3 − i − z 4
⇒ P = f i 15 . f − i 15 = i − 1 4 − 2 i − 1 4 15 . − i − 1 4 − − 2 i − 1 4 15 = 13 5