Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t\\ z=4\end{array}\right.$ và $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=3-t\text{'}\\ y=t\text{'}\\ z=0\end{array}\right.$. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng $d_1$ và  $d_2.$

A.  $\left(S\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=4.$

B.  $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=16.$

C.  $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=4.$

D.  $\left(S\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=16.$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án C

Gọi tâm mặt cầu cần tìm là I và H,K lần lượt là hình chiếu của I lên các đường thẳng  d 1 , d 2 .

Ta có: I H + I K ≥ H K ≥ a d 1 , d 2 .  Dấu bằng khi HK là đường vuông góc chung của d 1 , d 2 và I là trung điểm của HK.

Khi đó: H 2 a , a , 4  và  K 3 − b , b , 0 ⇒ K H ¯ 2 a + b − 3 ; a − b ; 4

Đường thẳng d 1 , d 2  có vecto chỉ phương lần lượt là u 1 ¯ = 2 ; 1 ; 0  và u 2 ¯ − 1 ; 1 ; 0  nên:

K H ¯ . u 1 ¯ = 0 K H ¯ . u 2 ¯ = 0 ⇔ 2 2 a + b − 3 + a − b + 0.4 = 0 − 2 a + b − 3 + a − b + 0.4 = 0 ⇔ 2 a + b − 3 = a − b = 0 ⇔ a = b = 1

Suy ra trung điểm của HK là I 2 ; 1 ; 2  và bán kính của mặt cầu (S) là  R = H K 2 = 2.