Cho tam giác ABC, trung tuyến A M = 1 2 B C . a) Chứng minh B M A ^ = 2 M A C ^ và...

PT

Pham Trong Bach

2 tháng 7 2018

Cho tam giác ABC, trung tuyến A M = 1 2 B C . a) Chứng minh B M A ^ = 2 M A C ^ và C M A ^ ...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 7

1

CM

Cao Minh Tâm

2 tháng 7 2018

Đúng(0)

QT

Quoc Tran Anh Le

Giáo viên

24 tháng 9 2023

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) \(\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0\)

b) \(M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2.MA.MB.\cos \widehat {AMB}\) và \(M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2.MA.MC.\cos \widehat {AMC}\)

c) \(M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\) (công thức đường trung tuyến).

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 10

2

KS

Kiều Sơn Tùng

24 tháng 9 2023

Tham khảo:

a) Ta có: \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {AMB} = - \cos \widehat {AMC}\)

Hay \(\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0\)

b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = M{A^2} + M{B^2} - 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\;(1)\end{array}\)

Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = M{A^2} + M{C^2} - 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\;(2)\end{array}\)

c) Từ (1), suy ra \(M{A^2} = A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\)

Từ (2), suy ra \(M{A^2} = A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\)

Cộng vế với vế ta được:

\(2M{A^2} = \left( {A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}} \right)\; + \left( {A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}} \right)\;\)

\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - M{B^2} - M{C^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\)

Mà: \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\) (do AM là trung tuyến)

\( \Rightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMC}\)

\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\left( {\cos \widehat {AMB} + \;\cos \widehat {AMC}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\frac{{BC}}{2}^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\end{array}\) (đpcm)

Đúng(0)

HQ

Hà Quang Minh

Giáo viên

24 tháng 9 2023

Cách 2:

Theo ý a, ta có: \(\cos \widehat {AMC} = - \cos \widehat {AMB}\)

Từ đẳng thức (1): suy ra \(\cos \widehat {AMB} = \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {AMC} = - \cos \widehat {AMB} = - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}\)

Thế \(\cos \widehat {AMC}\)vào biểu thức (2), ta được:

\(M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC.\left( { - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} \right)\)

Lại có: \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\) (do AM là trung tuyến)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} = 2MA.MB.\left( { - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} \right)\\ \Leftrightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} = - \left( {M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}} \right)\\ \Leftrightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} + M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{B^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2M{A^2} - A{B^2} - A{C^2} + {\frac{{BC}}{2}^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\frac{{BC}}{2}^2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\end{array}\)

Đúng(0)

NH

Nguyễn Huệ Lam

17 tháng 8 2017 - olm

Tất cả các bài này giải theo cách của lớp 9Bài 1: (Công thức tính độ dài đường trung tuyến) Cho tam giác ABC , gọi ma là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A. Chứng minh \(m^2_a=\frac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\)Bài 2: Cho tam giác ABC có a2+b2=2c2, ma, mb, mc là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C.Chứng...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

TC

Thánh Ca

27 tháng 8 2017

tuổi con HN là :

50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )

tuổi bố HN là :

50 - 10 = 40 ( tuổi )

hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi

ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|

con : |----| hiệu 30 tuổi

tuổi con khi đó là :

30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )

số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :

15 - 10 = 5 ( năm )

ĐS : 5 năm

mình nha

Đúng(0)

NH

Nguyễn Huệ Lam

17 tháng 8 2017 - olm

Tất cả các bài này giải theo cách của lớp 9Bài 1: (Công thức tính độ dài đường trung tuyến) Cho tam giác ABC , gọi ma là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A. Chứng minh \(m^2_a=\frac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\)Bài 2: Cho tam giác ABC có a2+b2=2c2, ma, mb, mc là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C.Chứng...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

TC

Thánh Ca

27 tháng 8 2017

tuổi con HN là :

50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )

tuổi bố HN là :

50 - 10 = 40 ( tuổi )

hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi

ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|

con : |----| hiệu 30 tuổi

tuổi con khi đó là :

30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )

số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :

15 - 10 = 5 ( năm )

ĐS : 5 năm

mình nha

Đúng(0)

VH

Vương Hoàng Minh

21 tháng 10 2015 - olm

Cho tam giác ABC, gọi m_a, m_b, m_c và R là độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(3\left(m_a+m_b+m_c\right)R_m\ge2\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

HK

hoàng khánh linh

21 tháng 6 2021

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC , trung tuyến AM . Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho M là trung điểm của AD .
a ) Chứng minh tam giác ABM = tam giác DCM và AB // CD . b ) Chứng minh AD = BC và AM = 1 / 2BC .
c ) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC ( H thuộc BC ) . Trên tia AH lấy điểm K sao cho AH = HK . C / m : BH =CK .

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 7

1

HK

hoàng khánh linh

21 tháng 6 2021

giúp mik nhanh câu c dc khum ạ

2 câu kia mik xong r

cảm ơn các bạn

Đúng(0)

N

nguyên

20 tháng 5 2016 - olm

cho tam giac ABC . A` đối xứng A qua C , B` đối xứng B qua A, C` đối xứng C qua B. BM trung tuyến tam giac abc . BM trung tuyến tam giác A`B`C`.

a.chung minh :ABMM` là hinh binh hanh

b.G giao diem BM VÀ B`M` .CM: G trọng tâm 2 tam giac ABC va A`B`C`

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

2

KR

kagamine rin len

21 tháng 5 2016

a) tam giác C'CA' có B là tđ của CC'(C' đối xứng C qua B),M' là tđ của C'A' (B'M'là trung tuyến tam giác A'B'C'

=> BM' là đtb tam giác C'CA'

=> BM'//CA' và BM'=1/2CA'

hay BM'//AM và BM'=AM( CA'=CA,AM=1/2CA)

=> tứ giác ABM'M là hình bình hành

b) gọi O là giao điểm của C'C và MM'

tam giác ABC có MO//AB,M là tđ của AC=> O là tđ của BC

=> AO là trung tuyến

tam giác ABC có AO và BM là 2 trung tuyến cắt nhau tại G=> G là trọng tâm tam giác ABC

ta có G là trọng tâm của tam giác ABC ,mà B'M' đi qua G=> G là trọng tâm tam giác A'B'C'

Đúng(0)

PQ

Phạm Quang Anh

25 tháng 9 2017

bạn kagemine rin len ơi

tại sao AO và BM cắt nhau tại G vậy

Đúng(0)

XT

Xinh Trần

12 tháng 5 2015 - olm

Cho điểm A nằm ngoài (O;R) vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là 2 tiếp điểm và cát tuyến AMN với đường tròn (M nằm giữa A và N). Gọi I là trung điểm của MN
a) Chứngminh: 5 điểm A,B,I,C,O cùng thuộc 1 đường tròn
b) Chứng minh: IA là phân giác của góc BIC
c) Với giá trị nào của A thì tam giác ABC là tam giác đều. Tính diện tích tam giác ABC trong trường hợp này.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

XT

Xinh Trần

9 tháng 5 2015 - olm

Cho điểm A nằm ngoài (O;R) vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B và C là 2 tiếp điểm và cát tuyến AMN với đường tròn (M nằm giữa A và N). Gọi I là trung điểm của MN
a) Chứngminh: 5 điểm A,B,I,C,O cùng thuộc 1 đường tròn
b) Chứng minh: IA là phân giác của góc BIC
c) Với giá trị nào của A thì tam giác ABC là tam giác đều. Tính diện tích tam giác ABC trong trường hợp này.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

BD

Bùi Đồng

15 tháng 2 2023

Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AD.Trên cạnh AB lấy điểm M(M khác A và B),đường thẳng kẻ M song song với BC cắt AD và AC lần lượt ở E và N. a) Chứng minh ME=NE. b) Nếu cho biết AM =2/3AB và Diện tích tam giác MEB= 1 cm^2 . Hãy tính diện tích tam giác ABC

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 8

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

16 tháng 2 2023

a: Xét ΔABD có ME//BD

nên ME/BD=AE/AD

Xét ΔADC có NE//DC

nên NE/DC=AE/AD=ME/BD

mà BD=CD

nên NE=ME

b: AM=2/3AB

=>AM=2MB

=>AB=3MB

\(\Leftrightarrow S_{AEB}=3\cdot S_{MEB}=3\left(cm^2\right)\)

AM/AB=2/3

=>AE/AD=2/3

=>\(S_{AEB}=\dfrac{2}{3}\cdot S_{ADB}\)

=>\(S_{ABD}=3:\dfrac{2}{3}=4.5\left(cm^2\right)\)

=>\(S_{ABC}=9\left(cm^2\right)\)

Đúng(0)

NM

Nguyễn Mai Hân

23 tháng 8 2023 - olm

Cho tam giác ABC cân tại A trung tuyến AM và trung tuyến BN cắt nhau tại G qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt BN tại I

a. Chứng minh tam giác AGB=AGC

b. C/m rằng CI=2GM

C. So sánh góc AIB và góc ABI

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 7

2

NN

Nguyễn Ngọc Anh Minh

CTVHS VIP

23 tháng 8 2023

A B C M I G

Xét tg AGB và tg AGC có

AB=AC

AG chung

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

=> tg AGB = tg AGC (c.g.c)

b/

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\) (trong tg cân đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh)

\(\Rightarrow AM\perp BC\)

\(CI\perp BC\)

=> GM//CI mà MB=MC => GB=GI (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Xét tg BCI có

MB=MC; GB=GI (cmt) => GM là đường trung bình của tg BCI

\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}CI\Rightarrow CI=2GM\)

Đúng(1)

TD

Tin dễ mà =))

23 tháng 8 2023

(Tự vẽ hình)

a)

Xét ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến

=> AM đồng thời là đường phân giác, đường cao của ΔABC

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\\GM\perp BC\end{matrix}\right.\)

Vì ΔABC cân tại A

=> AB = AC (Định nghĩa tam giác cân)

Xét ΔABG và ΔACG có:

AB = AC(cmt)

\(\widehat{BAG}=\widehat{CAG}\)(cmt)

AG chung

=> ΔABG = ΔACG(cgc)(đpcm)

b)

Có \(\left\{{}\begin{matrix}GM\perp BC\left(cmt\right)\\IC\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> GM // IC

Xét ΔBIG có M là trung điểm BC

Mà GM//IC

=> GM là đường trung bình của ΔBIC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}MG//IC\\IC=2.GM\left(dpcm\right)\end{matrix}\right.\)

c)

Có AG//IC(cmt)

=> \(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(2 góc so le trong)

Vì AM,BN là 2 đường trung tuyến của ΔABC

Mà AM cắt BN tại G

Nên G là trọng tâm ΔABC

=>AG = \(\dfrac{2}{3}\)AM

=>AG = 2.GM

Mà IC = 2.GM(cm câu b)

=> AG = IC

Xét ΔGAC và ΔICA có:

AG = IC(cmt)

\(\widehat{GAC}=\widehat{ICA}\)(cmt)

AN = NC(BN là đường trung tuyến)

=> ΔGAC = ΔICA(gcg)

=> AI = GC(2 cạnh tương ứng)

Mà ΔABG = ΔACG(cm câu a) => BG = CG

=> AI = BG(1)

Có \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+\widehat{GMB}\)(góc ngoài tam giác)

=> \(\widehat{AGB}=\widehat{GBM}+90^0\)

=> \(\widehat{AGB}>90^0\)

=> Cạnh AB lớn nhất trong ΔABG

=> AB>BG(2)

Từ (1) và (2) => AB > AI

=> \(\widehat{AIB}>\widehat{ABI}\)

Đúng(1)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP