Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(3;0;-1), C(0;21;-19) và mặt cầu  S : x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 1 . M(a;b;c) là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức T = 3 M A 2 + 2 M B 2 + M C 2  đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.

A. a + b + c = 0

B. a + b + c = 12

C. a + b + c =  12 5

D. a + b + c =  15 4

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Gọi điểm I x ; y ; z  sao cho 3 I A ¯ + 2 I B ¯ + I C ¯ = 0 ¯  suy ra điểm I(1;4;-3) 

Xét mặt cầu S : x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 1  có tâm E(1;1;1) và bán kính R = 1. 

Suy ra I E ¯ = ( 0 ; - 3 ; 4 ) ⇒ I E = 5 > R = 1 . Ta có T = 3 M A ¯ 2 + 2 . M B ¯ 2 + M C ¯ 2 = 3 . M I ¯ + I A ¯ 2 + 2 . M I ¯ + I B ¯ 2 + M I ¯ + I C ¯ 2  

= 6 . M I 2 + 2 . M I ¯ . 3 I A ¯ + 2 I B ¯ + I C ¯ + 3 I A 2 + 2 I B 2 + I C 2 = 6 M I 2 + 3 I A 2 + 2 I B 2 + I C 2 . 

Để tổng T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất vì tổng 3 I A 2 + 2 I B 2 + I C 2  không đổi. Suy ra M, E, I thẳng hàng mà IE = 5 và EM = 1 nên ⇒ 5 . E M ¯ = E I ¯ . 

Lại có E I ¯ = 0 ; 3 ; - 4  và E M ¯ = a - 1 ; b - 1 ; c - 1  suy ra  a = 1 5 b - 1 = 3 5 c - 1 = - 4 ⇒ a + b + c = 15 4 .