Cho hình chóp đều S.ABC. Chứng minh rằng:
a) Mỗi cạnh bên của hình chóp đó vuông góc với cạnh đối diện;
b) Mỗi mặt phẳng chứa một cạnh bên và đường cao của hình chóp đều vuông góc với cạnh đối diện.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và A’ , B’, C’ là các điểm tiếp xúc của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu. Ta có AA’ và AM là hai tiếp tuyến nên AM = AA’. Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB.
Mặt khác BM = BB’, ta suy ra AA’ = BB’
Vì SA’ = SB’ nên SA’ + A’A = SB’ + B’B hay SA = SB.
Tương tự, ta chứng minh được SB = SC
Do đó SA = SB = SC.
Mặt khác AB = 2BM = 2BN = BC = 2CN = 2CP = CA
Vậy AB = BC = CA và ABC là một tam giác đều nên là một hình chóp đều. Ta có đường cao kẻ từ S có chân H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC, suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC
Trục của đường tròn ngoại tiếp DABC cắt mặt phẳng trung trực của cạnh bên SA tại tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tính
Gọi M, N, P theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh SA, SB, SC; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA, các điểm D, E, F đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh AB, BC, CA.
Ta có: AD = AF
BD = BE BC = AB
AB = BC = CA
\(\Delta ABC\) là tam giác đều (1)
Ta lại có AM = AD; BN = BD = AD
và SM = SN = SP
SM + AM = SN + NB
SA = SB
Chứng minh tương tự ta có: SA = SB = SC.
Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S, ta có:
\(\Delta SHA=\Delta SHB=\Delta SHC\) => HA = HB = HC
H là tâm của tam giác đều ABC (2)
Từ (1) và (2) suy ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.
Gọi mặt cầu đã cho có tâm O và bán kính R.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA.
Gọi I,J và K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu:
+ Từ giả thiết ta suy ra: OI ⊥ SA; OM ⊥ AB
Xét tam giác OIA và tam giác OMA có:
⇒ ∆ OIA = ∆OMA ( ch- cgv)
⇒ AM = AI.
Chứng minh tương tự có: BM= BJ và SI = SJ (1)
Mà AM = BM nên AI= BJ ; (2)
Từ (1) và (2) suy ra: SI+IA = SJ + BJ hay SA = SB (3)
* Chứng minh tương tự, ta có SB= SC (4).
Từ (3) và (4) suy ra: SA = SB = SC (*)
Mặt khác ; BM = BN (= BJ) và CN = CP (= CK)
Suy ra; AB = 2BM = BC = 2 CN = 2CP = CA
Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (**)
Từ (*) và (**) suy ra, S. ABC là hình chóp tam giác đều.
a) Vì S.ABC là hình chóp đều nên ∆ABC là tam giác đều và có SA = SB = SC. Do đó khi ta vẽ SH ⊥ (ABC) thì H là trọng tâm của tam giác đều ABC và ta có AH ⊥ BC. Theo định lí ba đường vuông góc ta có SA ⊥ BC.
Chứng minh tương tự ta có SB ⊥ AC và SC ⊥ AB
b) Vì BC ⊥ AH và BC ⊥ SH nên BC ⊥ (SAH)
Chứng minh tương tự ta có CA ⊥ (SBH) và AB ⊥ (SCH).