Cho a>0,b>0,>0. Chứng minh rằng:
\(\frac{25a}{b+c}+\frac{16b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 1 2019
\(P=\frac{1}{25a}+\frac{1}{16b}+\frac{1}{9c}=\frac{\frac{1}{25}}{a}+\frac{\frac{1}{16}}{b}+\frac{\frac{1}{9}}{c}\ge\frac{\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right)^2}{a+b+c}=\frac{2209}{3600}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{\frac{1}{5}}{a}=\frac{\frac{1}{4}}{b}=\frac{\frac{1}{3}}{c}=\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}{a+b+c}=\frac{47}{60}\)
\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{5}:\frac{47}{60}=\frac{12}{47}\\b=\frac{1}{4}:\frac{47}{60}=\frac{15}{47}\\c=\frac{1}{3}:\frac{47}{60}=\frac{20}{47}\end{cases}}\)
...
20 tháng 3 2020
BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )
Vậy.......
13 tháng 8 2017
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
13 tháng 8 2017
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
11 tháng 12 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3.\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3.\sqrt[3]{1}=3\)
đpcm
KN
5 tháng 6 2019
Giả sử \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)(Vì a, b, c > 0)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+ac< ab+bc\)
\(\Leftrightarrow ac< bc\)(Đúng vì c > 0 và a < b)
Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)(đpcm)
5 tháng 6 2019
Trả lời:
Ta có:
\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
⇔ a(b + c) < (a + c)b
(vì a > 0, b > 0 và c > 0 ⇔ b + c > 0 và a + c > 0)
⇔ ab + ac < ab + bc
⇔ ac < bc ⇔ a < b (luôn đúng, theo gt)
SL
28 tháng 9 2015
Xét hiệu:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c}=\frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}+\frac{c-b}{a}\)
\(=\frac{ca.\left(a-c\right)}{abc}+\frac{ab.\left(b-a\right)}{abc}+\frac{bc.\left(c-b\right)}{abc}\)\(=\frac{a^2c-c^2a}{abc}+\frac{b^2a-a^2b}{abc}+\frac{c^2b-b^2c}{abc}\)
\(=\frac{a^2c-c^2a+b^2a-a^2b+c^2b-b^2c}{abc}\)\(=\frac{\left(a^2c-b^2c\right)+\left(-c^2a+c^2b\right)+\left(b^2a-a^2b\right)}{abc}\)
\(=\frac{c.\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c^2.\left(a-b\right)-ab.\left(a-b\right)}{abc}\)\(=\frac{\left(a-b\right)\left[c.\left(a+b\right)-c^2-ab\right]}{abc}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(ac+bc-c^2-ab\right)}{abc}\)\(=\frac{\left(a-b\right)\left[\left(ac-c^2\right)+\left(bc-ab\right)\right]}{abc}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left[c.\left(a-c\right)-b.\left(a-c\right)\right]}{abc}\)\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}{abc}\)
ta thấy \(a\ge b\ge c>0\Rightarrow abc>0\)
\(a-b\ge0\left(a\ge b\right);a-c\ge0\left(a\ge b\ge c\right);c-b\le0\left(b\ge c\right)\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)\le0\)
\(\text{Suy ra: }\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}{abc}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\le\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
có thể sai đề
\(VT=\frac{25a}{b+c}+25+\frac{16b}{c+a}+16+\frac{c}{a+b}+1-42\)
\(VT=\frac{25\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{16\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-42\)
\(VT=\left(a+b+c\right)\left(\frac{25}{b+c}+\frac{16}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-42\)
\(VT\ge\left(a+b+c\right).\frac{\left(5+4+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}-42=8\)
Bạn dùng BĐT gì vậy ạ?