CMR √a+√b+√c>=ab+bc+caa+b+c>=ab+bc+ca vs a, b, c >0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TD
0
BT
2
HT
0
T
24 tháng 9 2015
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).Vậy điều giả sử trên là sai,
a,b,c là 3 số dương.
24 tháng 9 2015
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).
Vậy điều giả sử trên là sai,
Do đó a,b,c là 3 số dương.
NT
1
T
29 tháng 7 2019
#)Giải :
Áp dụng BĐT Cauchy :
\(\left(ab+c\right)\left(bc+a\right)\le\left(\frac{ab+c+bc+a}{2}\right)^2=\frac{\left(b+1\right)^2\left(c+a\right)^2}{4}\)
Tương tự với các cặp còn lại, ta được :
\(\left(bc+a\right)\left(ca+b\right)\le\frac{\left(c+1\right)^2\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\left(ab+c\right)\left(ca+b\right)\le\frac{\left(a+1\right)^2\left(b+c\right)^2}{4}\)
Nhân theo vế :
\(\left[\left(ab+c\right)\left(ca+b\right)\left(bc+a\right)\right]^2\le\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\frac{\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right]^2}{64}\)
Mà : \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\le\left(\frac{a+1+b+1+c+1}{3}\right)^3=8\)
Do đó \(\left[\left(ab+c\right)\left(ac+b\right)\left(bc+a\right)\right]^2\le\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2.\frac{8^2}{64}\)
Từ đó suy ra \(\left(ab+c\right)\left(ca+b\right)\left(bc+a\right)\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\Rightarrowđpcm\)
IH
1
27 tháng 4 2020
Xét các trường hợp
TH1 :có 1 số < 0, 2 số > 0.
giả sử a < 0, b,c > 0
\(\Rightarrow bc>0\)
Mà a < 0 \(\Rightarrow abc< 0\)( trái với gt )
\(\Rightarrow\)loại
TH2 : 2 số < 0, 1 số > 0
giả sử b,c < 0, a > 0
\(\Rightarrow bc>0,b+c< 0\)
Mà a + b + c > 0 nên \(a>-\left(b+c\right)>0\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)< -\left(b+c\right)\left(b+c\right)=-\left(b+c\right)^2< 0\)
Nên ab + bc + ac = a ( b + c ) + bc < -(b+c)2 + bc = - ( b2 + c2 + bc ) < 0 ( trái với giả thiết )
TH3 : 3 số a,b,c < 0
\(\Rightarrow abc< 0\)( trái với giả thiết )
Vậy cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 0
NA
3
28 tháng 1 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cosi
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(a^2+c^2\ge2ac\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\ge2ab+2bc+2ac\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)
LN
28 tháng 1 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Ta có:
\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2\cdot b^2}\)
Suy ra \(a^2+b^2\ge2ab\)
Ta có:
\(a^2+c^2\ge2\sqrt{a^2\cdot c^2}\)
Suy ra: \(a^2+c^2\ge2ac\)
Tương tự:
\(b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2\cdot c^2}\)
Suy ra: \(b^2+c^2\ge2bc\)
Cộng vế theo vế:
Ta có: \(2\cdot\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Vậy \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)(đpcm)
LP
0
QT
19 tháng 5 2018
\(\sum\dfrac{a}{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2+abc+ac^2+bc^2+abc+ba^2+ca^2+abc+cb^2}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ac}\)