IH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ZT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 6 2021
\(3=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)
BĐT tương đương:
\(3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+6\right]\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[15-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(2abc+3\right)\ge15abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left(2abc+3\right)^2\ge225\left(abc\right)^2\)
Do \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)=9abc\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(2abc+3\right)^2\ge25abc\)
\(\Leftrightarrow\left(1-abc\right)\left(9-4abc\right)\ge0\) (luôn đúng với \(0< abc\le1\))
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
T
24 tháng 9 2015
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).Vậy điều giả sử trên là sai,
a,b,c là 3 số dương.
24 tháng 9 2015
Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).
Vậy điều giả sử trên là sai,
Do đó a,b,c là 3 số dương.
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2021
Do \(abc=1\), nếu viết BĐT về dạng:
\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có lẽ bạn sẽ nhận ra ngay. Một bài toán vô cùng quen thuộc.
Chắc với bài toán này thì bạn ko cần lời giải nữa, nó có ở khắp mọi nơi.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 5 2021
\(P\le\dfrac{a}{2\sqrt{a^2bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{b^2ca}}+\dfrac{c}{2\sqrt{c^2ab}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\right)=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
3 tháng 5 2021
Áp dụng cosi:
`a^2+bc>=2a\sqrt{bc}`
Hoàn toàn tương tự:
`=>P<=1/2(1/sqrt{ab}+1/sqrt{bc}+1/sqrt{ca})`
Áp dụng cosi:
`1/a+1/b+1/c>=1/sqrt(ab)+1/sqrt(bc)+1/sqrt(ca)`
`=>P<=1/2(1/a+1/b+1/c)`
`=>P<=1/2((ab+bc+ca)/(abc))<=(a^2+b^2+c^2)/(2(abc))=1/2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=3`
HT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
Do \(abc=1\Rightarrow\) đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
\(VT=\dfrac{xz}{y\left(x+z\right)}+\dfrac{xy}{z\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{x\left(y+z\right)}=\dfrac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}+\dfrac{\left(xy\right)^2}{xyz\left(x+y\right)}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xyz\left(y+z\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2xyz\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{3xyz\left(x+y+z\right)}{2xyz\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c=1\)
TT
2
T
24 tháng 8 2019
MV xem nào;) Nhưng em ko chắc đâu nhá!
Đặt \(t=\frac{a+b}{2};f\left(a;b;c\right)=VT\). Xét:
\(f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)=ab-t^2+c\left(a+b-2t\right)-c\left(ab-t^2\right)\)
\(=\left(1-c\right)\left(ab-t^2\right)\le0\forall0< a,b,c< 1\) (chỉ cần nhận ra \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=t^2\) là xong:v)
Do đó \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)\). Ta sẽ chứng minh:
\(f\left(t;t;c\right)\le\frac{8}{27}\Leftrightarrow f\left(t;t;1-2t\right)\le\frac{8}{27}\)
Đến đây chắc ok rồi nhỉ? Hàm số 1 biến?
TC
27 tháng 8 2017
tuổi con HN là :
50 : ( 1 + 4 ) = 10 ( tuổi )
tuổi bố HN là :
50 - 10 = 40 ( tuổi )
hiệu của hai bố con ko thay đổi nên hiệu vẫn là 30 tuổi
ta có sơ đồ : bố : |----|----|----|
con : |----| hiệu 30 tuổi
tuổi con khi đó là :
30 : ( 3 - 1 ) = 15 ( tuổi )
số năm mà bố gấp 3 tuổi con là :
15 - 10 = 5 ( năm )
ĐS : 5 năm
mình nha
7 tháng 7 2018
Từ giả thiết:\(ab+bc+ca=3\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=9-2abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:\(\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ca}+\frac{c}{2c^2+ab}\)\(=\frac{1}{\frac{2a^2+bc}{a}}+\frac{1}{\frac{2b^2+ca}{b}}+\frac{1}{\frac{2c^2+ab}{c}}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+\frac{bc}{a}+2b+\frac{ca}{b}+2c+\frac{ab}{c}}=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}}\)
\(=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}{abc}}=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{9-2abc\left(a+b+c\right)}{abc}}\)
\(=\frac{9}{2a+2b+2c+\frac{9}{abc}-2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{\frac{9}{abc}}=abc\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(\frac{2a^2+bc}{a}=\frac{2b^2+ca}{b}=\frac{2c^2+ab}{c}=\frac{2a^2+bc-2b^2-ca}{a-b}=\frac{2\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c\left(a-b\right)}{a-b}\)
\(=2\left(a+b\right)-c\).Tương tự ta có:\(2\left(a+b\right)-c=2\left(b+c\right)-a=2\left(c+a\right)-b\)
\(\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Xét các trường hợp
TH1 :có 1 số < 0, 2 số > 0.
giả sử a < 0, b,c > 0
\(\Rightarrow bc>0\)
Mà a < 0 \(\Rightarrow abc< 0\)( trái với gt )
\(\Rightarrow\)loại
TH2 : 2 số < 0, 1 số > 0
giả sử b,c < 0, a > 0
\(\Rightarrow bc>0,b+c< 0\)
Mà a + b + c > 0 nên \(a>-\left(b+c\right)>0\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)< -\left(b+c\right)\left(b+c\right)=-\left(b+c\right)^2< 0\)
Nên ab + bc + ac = a ( b + c ) + bc < -(b+c)2 + bc = - ( b2 + c2 + bc ) < 0 ( trái với giả thiết )
TH3 : 3 số a,b,c < 0
\(\Rightarrow abc< 0\)( trái với giả thiết )
Vậy cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 0