Cho \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\) CMR \(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)
So sánh\(2^{332}\) và \(3^{223}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\text{VT}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{1}{y}}+\frac{\left(\frac{y}{z}\right)^2}{\frac{1}{z}}+\frac{\left(\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}}\geq \frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)
Giờ ta cần chỉ ra \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Thật vậy, do $xyz=1$ nên tồn tại các số dương \(a,b,c\) sao cho:
\((x,y,z)=\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)\)
Bài toán tương đương với
\(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)
Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
\((ab)^3+(ab)^3+(bc)^3\geq 3b^3ca^2\)
Thực hiện tương tự và cộng theo vế, suy ra:
\(3[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3]\geq 3(a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2)\)
\(\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1\)
VT
29 tháng 5 2018
Ta có \(A=\frac{x^4}{x^3+x^2y+xy^2}+...\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^3+y^3+z^3+xy^2+yz^2+zx^2+x^2y+y^2z+z^2x}\)
=> \(A\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z}\ge\frac{x+y+z}{3}\left(ĐPCM\right)\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z>=0
HT
12 tháng 5 2015
CÔSI ta có VT<=1/xy+1/zy+1/zx.
sau đó vẫn áp dụng bất đẳng thức cosi tùng đôi một vế phải đã cho ta sẽ đc điều phải chứng minh
T
26 tháng 10 2019
Bài này dùng Cauchy ngược dấu:
\(\Sigma\frac{2x^2}{x+y^2}=\Sigma\frac{2x\left(x+y^2\right)-2xy^2}{x+y^2}=2\left(x+y+z\right)-2.\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\)
Từ đây ta có thể quy bđt vế chứng minh: \(\Sigma\frac{xy^2}{x+y^2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
Ta có: \(VT\le\Sigma\frac{xy^2}{2\sqrt{xy^2}}=\Sigma\frac{\sqrt{xy.y}}{2}\le\frac{xy+yz+zx+x+y+z}{4}\)
Như vậy cần chứng minh: \(xy+yz+zx\le x+y+z\)
Ta có: \(VT=\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\le x+y+z\)
Từ đây có đpcm:)
T
17 tháng 1 2019
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\)
Theo giả thiết,ta có: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}=\frac{3}{abc}\)
Nhân hai vế với abc: \(a+b+c=3\) tức là \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Lại có:\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{xyz}\)
Ta cần c/m: \(A\ge\frac{3}{2}\)
Do x,y,z > 0 áp dụng BĐT Cô si: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz=xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT Cô si: \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)
\(=3xyz.\frac{1}{\sqrt[3]{\left(z+x^2\right)\left(x+y^2\right)\left(y+z^2\right)}}\)\(\ge3xyz.\frac{xy+yz+zx}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{3\left(x^2y^2z+xy^2z^2+x^2yz^2\right)}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\ge\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+1\right)-6xyz}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left[xyz\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\right]-6xyz}\)
\(=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz\left[3xyz+1\right]-6xyz}=\frac{3x^2y^2z^2}{9x^2y^2z^2-3xyz}\)
Đặt \(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}\)
Ta sẽ c/m: \(B\ge\frac{2}{3}\).Thật vậy,ta có:
\(B=\frac{1}{A}=\frac{9x^2y^2z^2-3xyz}{3x^2y^2z^2}=3-\frac{3}{3xyz}\)\(=3-\frac{1}{xyz}\ge0\)
Suy ra \(A\ge0?!?\) có gì đó sai sai.Ai biết chỉ giùm
18 tháng 1 2019
Nghĩ mãi mới ra -.- Để ý cái số mũ 3 trên tử khó mà dùng trực tiếp Cô-si hoặc Bunhia nên phải tách nó ra
Ta có: \(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x^3+xz}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\)
\(\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}\)(Cô-si)
\(=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)
\(\ge x-\frac{z+1}{4}\)(Dùng bđt \(\sqrt{z}\le\frac{z+1}{2}\))
Tương tự \(\frac{y^3}{y^2+z}\ge y-\frac{x+1}{4}\)
\(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{y+1}{4}\)
Cộng từng vế của các bđt trên lại được
\(A\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{4}\)
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\)
Từ điều kiện \(xy+yz+zx=3xyz\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a,b,c>0\right)\)được
\(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge3\)
Quay trở lại với A
\(A\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\frac{3}{4}\ge\frac{3.3}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)(Do \(3=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\xy+yz+zx=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy .............
TN
22 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(\frac{1}{4x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{3x^2+x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{3x^2+3}\)
Viết lại BĐT cần chứng minh như sau:
\(\frac{1}{3x^2+3}+\frac{1}{3y^2+3}+\frac{1}{3z^2+3}\le\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\le\frac{3}{2}\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{1}{x^2+1}\le-\frac{1}{2}x+1\)
\(\Leftrightarrow-\frac{x\left(x-1\right)^2}{2\left(x^2+1\right)}\ge0\) *luôn đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{y^2+1}\le-\frac{1}{2}y+1;\frac{1}{z^2+1}\le-\frac{1}{2}z+1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+3=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}=VP\)
Xảy ra khi x=y=z=1
22 tháng 7 2017
Cho mih hỏi bđt phụ đó là sao, có thể CM giùm mih đc hok
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 8 2019
Lời giải:
Xét hiệu:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}-\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(\ge \frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{z^2}.\frac{z^2}{x^2}}-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\right)+3-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\frac{x}{y}-1)^2+(\frac{y}{z}-1)^2+(\frac{z}{x}-1)^2\right]\geq 0\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
ML
21 tháng 8 2016
\(\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=2-2\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}\right)\le2-2.\frac{4}{x+2+y+2}=2-\frac{8}{4-z}\)
Cần CM: \(2-\frac{8}{4-z}+\frac{z}{z+8}\le\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8\left(z-2\right)^2}{3\left(4-z\right)\left(z+8\right)}\ge0\)
bđt trên đúng do \(4-z=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)>0\)
a/
\(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\Rightarrow\frac{x^2}{z^2}=\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2+z^2}{z^2+y^2}\) (1)
Mà \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}\Rightarrow\frac{x^2}{z^2}=\frac{x}{z}.\frac{z}{y}=\frac{x}{y}\) (2)
Từ 91) và (2) \(\Rightarrow\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\left(dpcm\right)\)
\(2^{332}< 2^{333}=\left(2^3\right)^{111}=8^{111}\)
\(3^{223}>3^{222}=\left(3^2\right)^{111}=9^{111}\)
\(\Rightarrow3^{223}>9^{111}>8^{111}>2^{332}\)