Question

[Mai Tiến Đỗ]

Bài 1: Tìm 6 SNT thỏa mãn \(p_1^2+p_2^2+p_3^2+p_4^2+p_5^2=p_6^2\)

Bài 2: Tìm SNT p để \(\frac{p+1}{2}\)và \(\frac{p^2+1}{2}\)là số chính phương

Bài 3: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện 4a+1 và 4b-1 nguyên tố cùng nhau; a+b là ước của 16ab+1

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

1:

Nếu trong 5 số \(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5\) không có số nào chia hết cho 3 thì:

\(p_i^2\equiv1\left(mod3\right)\forall i\in\overline{1,5}\Rightarrow p_6^2\equiv5\equiv2\left(mod3\right)\) (vô lí).

Do đó trong 5 số đó có 1 số chia hết cho 3. Giả sử \(p_1⋮3\Rightarrow p_1=3\).

Ta có: \(9+p_2^2+p_3^2+p_4^2+p_5^2=p_6^2\).

Nếu các số \(p_2,p_3,p_4,p_5\) đều lẻ thì \(p_j^2\equiv1\left(mod8\right)\forall j\in\overline{2,5}\Rightarrow p_6^2\equiv5\left(mod8\right)\) (vô lí).

Do đó trong 4 số đó có 1 số chẵn. Giả sử \(p_2⋮2\Rightarrow p_2=2\).

Ta có: \(13+p_3^2+p_4^2+p_5^2=p_6^2\).

Dễ thấy \(p_6\) lẻ nên \(p_3^2+p_4^2+p_5^2\) chẵn. Do đó trong 3 số \(p_3,p_4,p_5\), giả sử \(p_3\) chẵn thì \(p_3=2\).

Ta có: \(17+p_4^2+p_5^2=p_6^2\).

Tương tự cách làm ở trên nếu \(p_4,p_5\) lẻ thì \(p_6^2\equiv3\left(mod8\right)\) (vô lí).

Do đó giả sử \(p_4⋮2\Rightarrow p_4=2\).

Ta có: \(21+p_5^2=p_6^2\Rightarrow p_5⋮2\Rightarrow p_5=2;p_6=5\).

Vậy p₁ = 3; p₂ = p₃ = p₄ = p₅ = 2; p₆ = 5.