Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3y+4z+t\right)^2=27\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\\x^3+y^3+z^3+t^3=93\end{matrix}\right.\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Uầy, Bunyakovsky phát ra luôn nè :))
Ta có:
\(\left(x+3y+4z+t\right)^2\le\left(1^2+3^2+4^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)=27\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=t\)
Đặt \(x=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=t=k\left(k\inℝ\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=t=k\\y=3k\\z=4k\end{cases}}\) thay vào ta được: \(k^3+27k^3+64k^3+k^3=93\)
\(\Leftrightarrow93k^3=93\Rightarrow k^3=1\Rightarrow k=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=t=1\\y=3\\z=4\end{cases}}\)
Pt đầu chắc là sai đề (chắc chắn), bạn kiểm tra lại
Với pt sau:
Nhận thấy một ẩn bằng 0 thì 2 ẩn còn lại cũng bằng 0, do đó \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) là 1 nghiệm
Với \(x;y;z\ne0\)
Từ pt đầu ta suy ra \(y>0\) , từ đó suy ra \(z>0\) từ pt 2 và hiển nhiên \(x>0\) từ pt 3
Do đó:
\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\le\dfrac{2x^2}{2x}=x\\z=\dfrac{3y^3}{y^4+y^2+1}\le\dfrac{3y^3}{3\sqrt[3]{y^4.y^2.1}}=y\\x=\dfrac{4z^4}{z^6+z^4+z^2+1}\le\dfrac{4z^4}{4\sqrt[4]{z^6z^4z^2}}=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\le x\\z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(1;1;1\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=y^3+1\\\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)=z^3+1\\\left(z+1\right)\left(z^2+1\right)=x^3+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+x^2+x=y^3\left(1\right)\\y^3+y^2+y=z^3\\z^3+z^2+z=x^3\end{matrix}\right.\)
Giả sử \(x>y\Rightarrow x^3+x^2+x>y^3+y^2+y\)
\(\Rightarrow y^3>z^3\Leftrightarrow y>z\left(2\right)\)
\(\Rightarrow y^3+y^2+y>z^3+z^2+z\Rightarrow z>x\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow y>x\) (Vô lí)
Giả sử \(x< y\Rightarrow x^3+x^2+x< y^3+y^2+y\)
\(\Rightarrow y^3< z^3\Leftrightarrow y< z\left(4\right)\)
\(\Rightarrow y^3+y^2+y< z^3+z^2+z\Rightarrow z< x\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow y< x\) (Vô lí)
\(\Rightarrow x=y=z\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3+x^2+x=x^3\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=0\) hoặc \(x=y=z=-1\)
Ta có:
\(\left(1.x+3.y+4.z+1.t\right)^2\le\left(1^2+3^2+4^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3y+4z+t\right)^2\le27\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=t\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3x\\z=4x\\t=x\end{matrix}\right.\)
Thay vào pt dưới:
\(x^3+27x^3+64x^3+x^3=93\)
\(\Leftrightarrow x=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=3\\z=4\\t=1\end{matrix}\right.\)