cho x,y,z > 0 thỏa mãn \(x\le1,y\le2,x+y+z=6\)CMR : \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge4xyz\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 9 2021
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\dfrac{1}{3}.\left(x+y+z\right).\dfrac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\ge\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\dfrac{8}{9}\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)^3}\)
\(\Rightarrow3\left(xy+yz+zx\right)^3\le\left(\dfrac{9}{8}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(xy+yz+zx\right)^3\le\dfrac{27}{64}\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\dfrac{3}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2022
\(\left(x^3+1\right)\left(y^3+1\right)\left(z^3+1\right)=\dfrac{81}{64}x^3y^3z^3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{81}{64}x^2y^2z^2\)
\(\Leftrightarrow3xyz\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{81}{64}x^3y^3z^3\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xyz=0\\\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\end{matrix}\right.\)
Nếu \(\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)=\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\)
Ta có:
\(x^2-x+1=\dfrac{3}{4}x^2+\left(\dfrac{x}{2}-1\right)^2\ge\dfrac{3}{4}x^2\)
Tương tự: \(y^2-y+1\ge\dfrac{3}{4}y^2\) ; \(z^2-z+1\ge\dfrac{3}{4}z^2\)
Do các vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế ta được:
\(\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\left(z^2-z+1\right)\ge\dfrac{27}{64}x^2y^2z^2\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
Thế vào điều kiện \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=3xyz\) ko thỏa mãn (loại)
Vậy \(xyz=0\)
30 tháng 4 2020
Đặt a=x-2; b=y-2; c=z-2. Phải chứng minh abc =<1
Thật vậy, từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)ta có:
\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1\)
Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{1}{a+2}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{b+2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{c+2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\right)\ge\sqrt{\frac{bc}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\left(1\right)\)
tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+2}\ge\sqrt{\frac{ac}{\left(a+2\right)\left(c+2\right)}}\left(2\right)\\\frac{1}{c+2}\ge\sqrt{\frac{ab}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}\left(3\right)\end{cases}}\)
Nhân các vế của (1)(2)(3) ta được đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c hay x=y=z=3
28 tháng 8 2021
Áp dụng BĐT BSC và BĐT Cosi:
\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\ge17\left(x+y+z\right)+\frac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\)
\(=17\left(x+y+z\right)=\frac{18}{x+y+z}\)
\(=17\left(x+y+z\right)=\frac{17}{x+y+z}+\frac{1}{x+y+z}\)
\(\ge2\sqrt{17\left(x+y+z\right).\frac{17}{x+y+z}}+\frac{1}{1}\)
\(=35\)
\(\Rightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
28 tháng 8 2021
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM kết hợp giả thiết x + y + z ≤ 1 ta có :
\(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=17x+17y+17z+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\)
\(=\left(18x+\frac{2}{x}\right)+\left(18y+\frac{2}{y}\right)+\left(18z+\frac{2}{z}\right)-\left(x+y+z\right)\)
\(\ge2\sqrt{18x\cdot\frac{2}{x}}+2\sqrt{18y\cdot\frac{2}{y}}+2\sqrt{18z\cdot\frac{2}{z}}-1=12\cdot3-1=35\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1/3
BĐT tương đương với:
\(x+y+z+xy+yz+zx+1\ge3xyz\)
hay : \(7+z\left(6-z\right)+xy\left(1-3z\right)\ge0\)
Vì \(x\le1;y\le2\)nên \(z\ge3\), tức là \(1-3z< 0;3z-5>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(xy=\frac{1}{2}.2x.y\le\frac{\left(2x+y\right)^2}{8}\le\frac{\left(1+x+y\right)^2}{8}=\frac{\left(7-z\right)^2}{8}\)
Do đó: \(7+z\left(6-z\right)+xy\left(1-3z\right)\ge7+z\left(6-z\right)+\frac{\left(7-z\right)^2}{8}\left(1-3z\right)\)
\(=\frac{1}{8}\left(z-3\right)\left(7-z\right)\left(3z-5\right)=\frac{1}{8}\left(z-3\right)\left(1+x+y\right)\left(3z-5\right)\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=1,y=2,z=3