Question

[tranthivui]

giải pt vô tỷ 2x^3 +x^2 - x = -1/3

Answer 1

[Phan Nghĩa]

cách đầu tiên mình sẽ dùng công thức lượng giác hóa nhé !

\(pt< =>2x^3+x^2-x+\frac{1}{3}=0\)

Đặt các giá trị : \(\Delta=b^2-3ac=1^2-3.2.\left(-1\right)=1+6=7\)

\(k=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\sqrt{|\Delta|^3}}=\frac{9.2.\left(-1\right)-2.1^3-\frac{27.2^2.1}{3}}{2\sqrt{7^3}}=-\frac{18+2+36}{2.\sqrt{343}}=-\frac{28}{7\sqrt{7}}=-\frac{4}{\sqrt{7}}\)

Do \(\Delta>0;|k|=|-\frac{4}{\sqrt{7}}|=\frac{4}{\sqrt{7}}>1\)

Suy ra nghiệm của phương trình trên có dạng :

 \(x=\frac{\sqrt{\Delta}|k|}{3.a.k}\left(\sqrt[3]{|k|+\sqrt{k^2-1}}+\sqrt[3]{|k|-\sqrt{k^2-1}}\right)-\frac{b}{3a}\)

\(=\frac{\sqrt{7}.\frac{4}{\sqrt{7}}}{3.2.\left(-\frac{4}{\sqrt{7}}\right)}\left(\sqrt[3]{\frac{4}{\sqrt{7}}+\sqrt{\frac{16}{7}-1}}+\sqrt[3]{\frac{4}{\sqrt{7}}-\sqrt{\frac{16}{7}-1}}\right)-\frac{1}{3.2}\)

\(=-\frac{\sqrt{7}}{6}\left(\sqrt[3]{\frac{4}{\sqrt{7}}+\frac{3\sqrt{7}}{7}}+\sqrt[3]{\frac{4}{\sqrt{7}}-\frac{3\sqrt{7}}{7}}\right)-\frac{1}{6}\)

\(=-\frac{\sqrt{7}}{6}\left(\sqrt[3]{\frac{4+3}{\sqrt{7}}}+\sqrt[3]{\frac{4-3}{\sqrt{7}}}\right)-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{7}}{6}\left(\sqrt[3]{\sqrt{7}}+\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{7}}}\right)-\frac{1}{6}\)

Vậy \(x=-\frac{\sqrt{7}}{6}\left(\sqrt[3]{\sqrt{7}}+\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{7}}}\right)-\frac{1}{6}\)

Answer 2

[Phan Nghĩa]

và đây là phương pháp Cardano ^^

\(pt< =>x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}=0\)

Đặt \(x=y-\frac{1}{6}\)thì phương trình trở thành : \(\left(y-\frac{1}{6}\right)^3+\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{6}\right)^2-\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{6}=0\)

\(< =>y^3-3.y^2.\frac{1}{6}+3.y.\frac{1}{36}-\frac{1}{216}+\frac{1}{2}\left(y^2-\frac{y}{3}+\frac{1}{36}\right)-\frac{1}{2}y+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=0\)

\(< =>y^3-\frac{y^2}{2}+\frac{y}{12}-\frac{1}{216}+\frac{y^2}{2}-\frac{y}{6}+\frac{1}{72}-\frac{y}{2}+\frac{1}{4}=0\)

\(< =>y^3+\frac{y}{12}-\frac{2y}{12}-\frac{6y}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{72}-\frac{1}{216}=0\)\(< =>y^3+\frac{7}{12}y+\frac{7}{27}=0\)

Đặt \(y=u+v\)sao cho \(uv=-\frac{7}{36}\)Khi đó ta được phương trình : \(\left(u+v\right)^3+\frac{7}{12}\left(u+v\right)+\frac{7}{27}=0\)

\(< =>u^3+v^3+3uv\left(u+v\right)+\frac{7}{12}\left(u+v\right)+\frac{7}{27}=0\)

\(< =>u^3+v^3+\left(u+v\right)\left(3uv+\frac{7}{12}\right)+\frac{7}{27}\)\(< =>u^3+v^3=-\frac{7}{27}\)(*) (Do 3uv + 7/12 = 0) 

Từ \(uv=-\frac{7}{36}< =>u^3v^3=-\frac{343}{46656}\)(**) Từ (*) và (**) Suy ra được hệ \(\hept{\begin{cases}u^3+v^3=-\frac{7}{27}\\u^3v^3=-\frac{343}{46656}\end{cases}}\)

Theo định lý Vi-ét , \(u^3\)và \(v^3\)là 2 nghiệm của phương trình \(x^2+\frac{7}{27}x-\frac{343}{46656}=0\)

Đặt giá trị \(\Delta=\frac{\left(\frac{7}{27}\right)^2}{4}+\frac{343}{46656}=\frac{49}{729.4}+\frac{343}{46656}=\frac{1127}{46656}>0\)

Do \(\Delta>0\)nên ta được : \(u^3=-\frac{\frac{7}{27}}{2}+\sqrt{\frac{1127}{46656}}=-\frac{7}{54}+\frac{4}{25}=\frac{41}{1350}\)

\(v^3=-\frac{\frac{7}{27}}{2}-\sqrt{\frac{1127}{46656}}=-\frac{7}{54}-\frac{4}{25}=-\frac{391}{1350}\)

Như vậy phương trình biến y có nghiệm là : \(y=\sqrt[3]{\frac{\left(-\frac{7}{27}\right)^2}{2}+\sqrt{\frac{1127}{46656}}}+\sqrt[3]{\frac{\left(-\frac{7}{27}\right)^2}{2}-\sqrt{\frac{1127}{46656}}}\)

\(=\sqrt[3]{\frac{49}{729.2}+\frac{4}{25}}+\sqrt[3]{\frac{49}{729.2}-\frac{4}{25}}=\sqrt[3]{\frac{49}{1458}+\frac{4}{25}}+\sqrt[3]{\frac{49}{1458}-\frac{4}{25}}\)

Suy ra \(x=\sqrt[3]{\frac{49}{1458}+\frac{4}{25}}+\sqrt[3]{\frac{49}{1458}-\frac{4}{25}}-\frac{1}{6}\)

mình có vẻ tính nhầm chỗ nào đó rồi , bạn cố gắng tìm lại lỗi sai nhé ^^