Question

[Minh Nguyệt]

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. M, N, Q lần lượt là trung điểm của BC, C'D', AA'

a) Tìm E = MN giao (ACC'). Chứng minh: E là trung điểm của MN

b) Chứng minh: QE, AC', BD' đồng quy

c) Tìm I = BD' giao (MNQ). Chứng minh: I là trọng tâm tam giác MNQ

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Hướng dẫn:

Gọi P, H lần lượt là trung điểm CD, B'C' \(\Rightarrow\) PMHN là hình chữ nhật

Gọi K, G lần lượt là giao điểm của AC và PM, A'C' là HN \(\Rightarrow\) K, G lần lượt là trung điểm PM và NH

Điểm E chính là giao điểm của MN và KG.

Với việc K, G là trung điểm 2 cạnh đối hcn và MN là đường chéo của hcn thì hiển nhiên E sẽ là trung điểm MN

b.

Do E là trung điểm PG (và MN) nên QE song song AC

Do đó QE, AC', BD' cùng đi qua tâm I của lập phương

c.

Như câu b thì I đồng thời là tâm lập phương

QI đi qua trung điểm E của MN đồng thời \(\frac{QI}{QE}=\frac{AO}{AK}=\frac{2}{3}\) (với O là tâm hình vuông ABCD) nên I là trọng tâm QMN