Chứng minh rằng \(C_n^0+C_n^1+...+C_n^n=2^n\) (không dùng nhị thức Newton)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MC
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
Giả sử có 1 nhóm người gồm 2n người, trong đó có n nam và n nữ.
Chọn n người từ 2n người đó, ta thực hiện theo 2 cách:
- Cách 1: chọn bất kì, có \(C_{2n}^n\) cách (1)
- Cách 2: giả sử trong n người được chọn có k nữ và \(n-k\) nam
Chọn k nữ từ n nữ, có \(C_n^k\) cách
Chọn \(n-k\) nam từ n nam, có \(C_n^{n-k}\) cách
Số cách thỏa mãn: \(\sum\limits^n_{k=0}C_n^kC_n^{n-k}=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kC_n^k=\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2\) (2)
(1); (2) \(\Rightarrow\sum\limits^n_{k=0}\left(C_n^k\right)^2=C_{2n}^n\)
HN
22 tháng 11 2017
1/ \(2C^k_n+5C^{k+1}_n+4C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\)
\(=2\left(C^k_n+C_n^{k+1}\right)+3\left(C^{k+1}_n+C^{k+2}_n\right)+\left(C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\right)\)
\(=2C_{n+1}^{k+1}+3C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3}\)
\(=2\left(C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2}\right)+\left(C_{n+1}^{k+2}+C^{k+3}_{n+1}\right)\)
\(=2C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}=C_{n+2}^{k+2}+\left(C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}\right)=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+3}^{k+3}\)
28 tháng 11 2017
Áp dụng ct:C(k)(n)=C(k)(n-1)+C(k-1)(n-1) có:
................C(k-1)(n-1)= C(k)(n) - C(k)(n-1)
tương tự: C(k-1)(n-2)= C(k)(n-1) - C(k)(n-2)
................C(k-1)(n-3)= C(k)(n-2) -C(k)(n-3)
.........................................
................C(k-1)(k-1)= C(k)(k) (=1)
Cộng 2 vế vào với nhau...-> đpcm
18 tháng 7 2018
ta có : \(Q=C^1_n+2\dfrac{C_n^2}{C_n^1}+...+k\dfrac{C^k_n}{C_n^{k-1}}+...+n\dfrac{C^n_n}{C_n^{n-1}}\)
\(\Leftrightarrow Q=\dfrac{n!}{1!\left(n-1\right)!}+2\dfrac{1!\left(n-1\right)!}{2!\left(n-2\right)!}+...+k\dfrac{\left(k-1\right)!\left(n-k+1\right)!}{k!\left(n-k\right)!}+...+\dfrac{n\left(n-1\right)!1!}{n!}\)
\(\Leftrightarrow Q=n+\dfrac{2\left(n-1\right)}{2}+...+\dfrac{k\left(n-k+1\right)}{k}+...+\dfrac{n}{n}\)
\(\Leftrightarrow Q=n+\left(n-1\right)+...+\left(n-k+1\right)+...+1\)
\(\Leftrightarrow Q=n^2-\left(1+\left(1+1\right)+\left(1+2\right)+...+\left(n-1\right)\right)\)
N
6 tháng 5 2023
\(C^1_n+C^2_n=15\) (Điều kiện: \(n\ge2\))
\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=15\)
\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{2\left(n-2\right)!}=15\)
\(\Leftrightarrow n+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=15\)
\(\Leftrightarrow2n+n\left(n-1\right)=30\)
\(\Leftrightarrow2n+n^2-n=30\)
\(\Leftrightarrow n^2+n-30=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=5\\n=-6\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{2}{x^4}\right)^5=C^k_5x^{5-k}\left(\dfrac{2}{x^4}\right)^k=C^k_5x^{5-k-4k}.2^k=C^k_5x^{5-5k}.2^k\)
\(ycbt\Leftrightarrow5-5k=0\Leftrightarrow k=1\)
\(\Rightarrow C^1_5.2^1=10\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(10\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 4 2019
\(C_n^2-C_n^1=44\Leftrightarrow\frac{n!}{\left(n-2\right)!.2}-\frac{n!}{\left(n-1\right)!}=44\)
\(\Leftrightarrow\frac{n\left(n-1\right)}{2}-n-44=0\Leftrightarrow n^2-3n-88=0\Rightarrow n=11\)
\(\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{-4}\right)^{11}=\sum\limits^{11}_{k=0}C_{11}^k\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^k.\left(x^{-4}\right)^{11-k}\)
Số hạng tổng quát:
\(C_{11}^k\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^k.\left(x^{-4}\right)^{11-k}=C_{11}^kx^{\frac{3k}{2}-44+4k}=C_{11}^kx^{\frac{11k}{2}-44}\)
Số hạng ko chứa \(x\Rightarrow\frac{11k}{2}-44=0\Rightarrow11k=88\Rightarrow k=8\)
Vậy số hạng ko chứa x là \(C_{11}^8=165\)
Xét tập A có n phần tử
Ta sẽ đếm số tập con của chúng bằng hai cách:
-Cách 1:
+Số tập con có 0 phần tử là: \(C^0_n\) tập
+Số tập con có 1 phần tử là: \(C^1_n\) tập
...
+Số tập con có 0 phần tử là: \(C^n_n\) tập
Khi đó vế trái của đẳng thức cần chứng minh là tổng số tập con của tập đó
Cách 2: Xét tập B là tập con của tập A
Một phần tử i bất kì thuộc A có thể thuộc B hoặc không thuộc B nên phần tử i đó có 2 khả năng xảy ra. Làm tương tự với n-1 phần tử còn lại thì vế phải của đẳng thức cần chứng minh là số tập con của tập A
Ta chứng minh bằng quy nạp.
Ta thấy công thức trên đúng với n = 1.
Giả sử nó đúng đến n. Ta chứng minh nó đúng với n + 1.
Nhận thấy VT là số tập hợp con của một tập hợp có n phần tử.
Nếu ta thêm 1 phần tử thì số tập hợp con tăng thêm chính bằng số tập hợp con của tập hợp đó.
Do đó số tập hợp con của một tập hợp có n + 1 phần tử là: \(2^n+2^n=2^{n+1}\).
Vậy công thức trên đúng với n + 1. Phép cm hoàn tất.