cho các số dương a,b,c thay đổi và thỏa mãn a+b+c=4
chứng minh √a+b + √b+c + √c+a >4
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{ Nếu: a}< 1\text{ thì: }b+c=5-a;b^2+c^2=\left(3-a\right)\left(3+a\right)\)
\(\text{ta có:}9-a^2\ge\left(25-10a+a^2\right):2\Leftrightarrow18-2a^2\ge25-10a+a^2\)
\(\Leftrightarrow10a-7-3a^2\ge0\Leftrightarrow-3a^2+3a+7a-7=-3a\left(a-1\right)+7\left(a-1\right)=\left(7-3a\right)\left(a-1\right)\ge0\)
do đó: a >=1
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta dễ có:
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\ge3\sqrt{3\left(2a+2b+2c\right)}=3\sqrt{6\left(a+b+c\right)}\)
\(=3\sqrt{24}>4\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=4/3