Cho a^2+b^2+c^2=a.b+b.c+c.a
CMR: a=b=c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
1
HP
6 tháng 7 2016
\(3.\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
\(=>3ab+3bc+3ca=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(=>3ab+3bc+3ca-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(=>-a^2-b^2-c^2+ab+bc+ca=0=>-\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
\(=>a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca=0=>2\left(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\right)=0\)
\(=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(=>\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(=>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tổng 3 số không âm =0 <=> chúng = 0
<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}< =>a=b=c\left(đpcm\right)}\)
TN
5 tháng 10 2017
Vì là trong sách nên có lẽ đã lm đc câu a nên ta sẽ áp dụng:
b) 2.( ab+bc+ca) = 2( a^2.b^2+ b^2.c^2+c^2.a^2+ 2.b^2.a.c + 2a^2.b.c+ 2c^2.a.b)
= 2. [ a^2.b^2+b^2.c^2+c^2.a^2+ 2abc ( a+b+c)]
= 2. (a^2.b^2 + b^2.c^2 + c^2.a^2 ) ( Vì a+b+c = 0)
= a^4 + b^4 + c^4 ( theo câu a nha)
20 tháng 11 2017
Ta có :
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}=\frac{ab-bc}{\left(a+b\right)-\left(b+c\right)}=\frac{bc-ca}{\left(b+c\right)-\left(c+a\right)}=\frac{ab-ca}{\left(a+b\right)-\left(c+a\right)}\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow Q=\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^3+b^3+c^3}=1\)
KN
2
S
28 tháng 2 2021
(a+b+c).(a+b+c)-2(a.b+b.c+c.a)=a^2+ab+ca+ab+b^2+bc+ca+bc+c^2-2ab-2bc-2ca=(a^2+b^2+c^2)+(ab+ab-2ab)+(ca+ca-2ca)+(bc+bc-2bc)=a^2+b^2+c^2 .
Mik viết thế này mong bạn thông cảm .
28 tháng 2 2021
Ta có: \(\left(a+b+c\right).\left(a+b+c\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2\)
20 tháng 3 2018
dự đoán của Thần thánh
\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)
\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)
tương tự với các BDT còn lại suy ra
\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)
\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si ta có
\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)
tương tự với b^2+c^2 ta được
\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
" thay 1/3 vào ta được
\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)
áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "
\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)
mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
thay a+b+c=1 vào ta được
\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "
bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)
\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)
mà a+b+C=1 suy ra
\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"
từ 1 và 2 suy ra
\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
" đúng với dự đoán của thần thánh "
1
TT
6 tháng 2 2021
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\b+c=-10\\a+c=-3\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\b+c=-10\\2\left(a+b+c\right)=-8\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=5\\b+c=-10\\\left(a+b+c\right)=-4\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}c=-9\\a=6\\b=-1\end{matrix}\right.\) (TM)
b/ \(\left\{{}\begin{matrix}ab=-2\\bc=-6\\ac=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2b^2c^2=36\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}abc=6\\abc=-6\end{matrix}\right.\)
TH1 : abc = - 6
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}ab=-2\\bc=-6\\ac=3\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}c=3\\a=1\\b=-2\end{matrix}\right.\) (TM)
TH2 : abc = 6
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}ab=-2\\bc=-6\\ac=3\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}c=-3\\a=-1\\b=2\end{matrix}\right.\) (TM)
gt <=> \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
<=> \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\) (1)
TA LUÔN CÓ: \(\left(a-b\right)^2;\left(b-c\right)^2;\left(c-a\right)^2\ge0\forall a;b;c\)
=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (2)
TỪ (1) VÀ (2) => DẤU "=" SẼ XẢY RA <=> \(\left(a-b\right)^2=\left(b-c\right)^2=\left(c-a\right)^2=0\)
<=> \(a=b=c\)
VẬY TA CÓ ĐPCM.
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca
<=> 2( a2 + b2 + c2 ) = 2( ab + bc + ca )
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) = 0
<=> ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 = 0 (*)
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}}\ge0\forall a,b,c\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra ( tức là (*) xảy ra ) <=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
=> ĐPCM