Question

[Từ Khánh Hưng]

Tam giác ABC có AB < AC . Phân giác AM. Trên tia AC lấy N sao cho AN = AB. K là giao điểm các đường thẳng AB và MN. Chứng minh rắng:

a, MB = MN

b, Tam giác MBK = tam giác MNC

c, AM vuông góc với KC và BN song song với KC

Answer 1

[Xyz OLM]

a) Xét \(\Delta\)ABM và  \(\Delta\) ANM có : 

\(\hept{\begin{cases}AB=AN\\\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\\AM\text{ chung}\end{cases}\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ANM}\)(c.g.c)

=> MB = MN (cạnh tương ứng)

=> BM = MN (cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{ABM}=\widehat{ANM}\text{ mà }\widehat{ABM}+\widehat{MBK}=\widehat{ANM}+\widehat{MNC}\left(=180^{\text{o}}\right)\Rightarrow\widehat{MBK}=\widehat{MNC}\)

b) Xét \(\Delta BMK\text{ và }\Delta BMC\text{ có }\)

\(\hept{\begin{cases}BM=MN\left(cmt\right)\\\widehat{M1}=\widehat{M2}\left(\text{đối đỉnh}\right)\\\widehat{MBK}=\widehat{MNC}\left(cmt\right)\end{cases}}\Rightarrow\Delta BMK=\Delta NMC\left(g.c.g\right)\)

=> BK = NC( cạnh tương ứng)

Vì AB = AN 

=> \(\Delta\)ABN cân tại A => \(\widehat{B_2}=\widehat{N_2}\)

Lại có \(\widehat{A}+\widehat{B1}+\widehat{N2}=180^{\text{o}}\Rightarrow\widehat{B1}=\frac{180^{\text{o}}-\widehat{A}}{2}\) (1)

vÌ AB = AN => AB + AK = AN + NC => AK = AC => \(\Delta AKC\)cân tại A

=> \(\widehat{K}=\widehat{C}\text{ mà }\widehat{A}+\widehat{K}+\widehat{C}=180^{\text{o}}\Rightarrow\widehat{K}=\frac{180^{\text{o}}-\widehat{A}}{2}\)(2)

Từ (1) ; (2) => \(\widehat{B1}=\widehat{K}\)=> BN//BC (2 góc đồng vị bằng nhau)

c) Kéo dài AM sao cho \(AM\Omega BC=\left\{H\right\}\)

Xét \(\Delta AKH\text{ và }\Delta ACH\text{ có }\)

\(\hept{\begin{cases}AK=AC\\\widehat{A1}=\widehat{A2}\\AH\text{ chung}\end{cases}}\Rightarrow\Delta AKH=\Delta ACH\left(C.C.C\right)\)

=> \(\widehat{H1}=\widehat{H2}\text{ mà }\widehat{H1}+\widehat{H2}=180^{\text{o}}\Rightarrow\widehat{H1}=\widehat{H2}=90^{\text{o}}\Rightarrow AH\perp KC\)

\(\Delta\)

Answer 2

[Greninja]

                                    

a) Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta ANM\)có :

                    \(AB=AN\left(gt\right)\)

                     \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(gt\right)\)

                  \(AM\)chung

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ANM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow MB=MN\)( 2 cạnh tương ứng )

b) Ta có : \(\Delta ABM=\Delta ANM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ANM}\)( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{ABM}+\widehat{MBK}=180^o\)( kề bù )

và \(\widehat{ANM}+\widehat{MNC}=180^o\)( kề bù )

\(\Rightarrow\widehat{MBK}=\widehat{MNC}\)

Xét \(\Delta MBK\)và \(\Delta MNC\)có :

           \(\widehat{MBK}=\widehat{MNC}\left(cmt\right)\)

               \(MB=MN\left(cmt\right)\)

           \(\widehat{BMK}=\widehat{CMK}\)( đối đỉnh )

\(\Rightarrow\Delta MBK=\Delta MNC\left(g.c.g\right)\)

c) Gọi giao của AM và KC tại I

Ta có : \(\Delta ABM=\Delta ANM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AB=AN\)( 2 cạnh tương ứng ) (1)

Ta lại có : \(\Delta MBK=\Delta MNC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow BK=NC\)( 2 cạnh tương ứng ) (2)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow AB+BK=AN+NC\)

\(\Rightarrow AK=AC\)

Xét \(\Delta KAI\)và \(\Delta CAI\)có :

             \(AK=AC\left(cmt\right)\)

              \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(gt\right)\)

                 AI chung

\(\Rightarrow\Delta KAI=\Delta CAI\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{AIC}\)( 2 góc tương ứng )

mà \(\widehat{AIK}+\widehat{AIC}=180^o\)( kề bù )

\(\Rightarrow\widehat{AIK}=90^o\)

\(\Rightarrow AI\perp KC\)hay \(AM\perp KC\)

Ta có : AB = AN ( cmt )

\(\Rightarrow\Delta BAN\)cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{ABN}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)

Ta lại có : AK = AC ( cmt )

\(\Rightarrow\Delta KAC\)cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AKC}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{AKC}\)

mà 2 góc nằm ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow BN//KC\)