Chứng minh \(\frac{a}{b}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}>\frac{5}{2}\) với mọi a,b,c >0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TG
29 tháng 5 2019
Ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(1)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)(2)
\(\sqrt{\frac{c}{b+a}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)(3)
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế => \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\)
HD
1
28 tháng 9 2018
Ta có:\(a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}\ge\sqrt{a\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự rồi cộng vế với vế ta được:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}}\)-> hệ vô nghiệm
\(\)\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
Ta có đpcm
Đặt \(\left(\frac{a}{b};\sqrt{\frac{b}{c}};\sqrt[3]{\frac{c}{a}}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy^2z^3=1\)
\(P=x+y+z=x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}+\frac{z}{3}+\frac{z}{3}\)
\(P\ge6\sqrt[6]{\frac{xy^2z^3}{108}}=\frac{6}{\sqrt[6]{108}}=\sqrt[6]{432}>\frac{5}{2}\)